Question

Найдите точки пересечения прямой 2x-y = 5 с окружностью (x-3) ^ 2 + (y + 2) ^ 2 = 2

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

$\left \{ {{(x-3)^2+(y+2)^2=2} \atop {2x-y=5}} \right.$

из второго выразим х и подставим в первое  

2x-y =5  ⇒  y= 2x -5  

(x-3)² +(2x -5 +2)² -2 =0  

x² -6x +9 +4x² -12x +9 *2 = 0

5x² -18x -16 =0   ⇒  x₁ = 2 (y₁=-1)  x₂ = 1.6 (y₂ = -1.8)  

M₁(2; -1);   M₂ (1.6; -1.8)

Answer 2

Чтобы найти точки пересечения прямой и окружности, нужно решить систему уравнений, состоящую из уравнения прямой и уравнения окружности.

Уравнение прямой: 2x - y = 5 Уравнение окружности: (x - 3)^2 + (y + 2)^2 = 2

Давайте решим эту систему методом подстановки. Выразим y из уравнения прямой:

2x - y = 5 y = 2x - 5

Теперь подставим это выражение для y в уравнение окружности:

(x - 3)^2 + (2x - 5 + 2)^2 = 2

Упростим уравнение:

(x - 3)^2 + (2x - 3)^2 = 2

Раскроем квадраты и упростим:

x^2 - 6x + 9 + 4x^2 - 12x + 9 = 2

5x^2 - 18x + 16 = 2

Теперь выразим x:

5x^2 - 18x + 16 - 2 = 0 5x^2 - 18x + 14 = 0

Далее, решим это квадратное уравнение. Для этого можно использовать квадратное уравнение:

x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)

где a = 5, b = -18 и c = 14.

x = (18 ± √((-18)^2 - 4 * 5 * 14)) / (2 * 5) x = (18 ± √(324 - 280)) / 10 x = (18 ± √44) / 10 x = (18 ± 2√11) / 10

Теперь найдем соответствующие значения y, используя выражение y = 2x - 5:

1. Для x = (18 + 2√11) / 10: y = 2 * ((18 + 2√11) / 10) - 5 y = (36 + 4√11 - 50) / 10 y = (4√11 - 14) / 10 y = 2√11/5 - 7/5

2. Для x = (18 - 2√11) / 10: y = 2 * ((18 - 2√11) / 10) - 5 y = (36 - 4√11 - 50) / 10 y = (-4√11 - 14) / 10 y = -2√11/5 - 7/5

Таким образом, у нас есть две пары точек пересечения прямой и окружности:

1. (x₁, y₁) = ((18 + 2√11) / 10, 2√11/5 - 7/5)
2. (x₂, y₂) = ((18 - 2√11) / 10, -2√11/5 - 7/5)