Question

Найти частное решение дифференциального уравнения первого порядка dy=(x+2)dxy(2)=8

Answer 1

Ответ:

$dy = (x + 2)dx \\ \int\limits \: dy = \int\limits(x + 2)dx \\ y = \frac{ {x}^{2} }{2} + 2x + C$

общее решение

$y(2) = 8$

$8 = \frac{ {2}^{2} }{2} + 2 \times 2 + C \\ C = 8 - 2 - 4 = 2$

$y = \frac{ {x}^{2} }{2} + 2x + 2$

частное решение

Answer 2

Для нахождения частного решения дифференциального уравнения первого порядка вида dy = (x + 2)dx, при условии y(2) = 8, выполните следующие шаги:

1. Разделите обе стороны уравнения на (x + 2): dy/(x + 2) = dx

2. Теперь проинтегрируйте обе стороны уравнения. Интегрируем левую сторону по переменной y и правую сторону по переменной x: ∫(1/(x + 2)) dy = ∫dx

3. Вычислите интегралы: ln|y| = x + C1, где C1 - постоянная интеграции.

4. Используя правило экспоненты, получим: |y| = e^(x + C1)

5. Теперь учитывая абсолютное значение |y|, мы можем записать два возможных частных решения: y = e^(x + C1) или y = -e^(x + C1)

6. Теперь, учитывая начальное условие y(2) = 8, найдем значение постоянной C1: Для y = e^(x + C1): 8 = e^(2 + C1) ln(8) = 2 + C1 C1 = ln(8) - 2

7. Таким образом, мы получаем частное решение: y = e^(x + ln(8) - 2) или y = -e^(x + ln(8) - 2)

Это частное решение данного дифференциального уравнения первого порядка с заданным начальным условием.