Question

(1+y)dx-(1-x)dy=0 дифференциальные уравнения с разделимыми переменными

Answer 1

Ответ:

$(1 + y)dx - (1 - x)dy = 0 \\ (1 - x)dy = (1 + y)dx \\ \int\limits \frac{dy}{1 + y} = \int\limits \frac{dx}{1 - x} \\ \int\limits \frac{d(y + 1)}{y + 1} = - \int\limits \frac{d( - x)}{1 - x} \\ ln(y + 1) = - \int\limits \frac{d(1 - x)}{1 - x} \\ ln(y + 1) = ln(1 - x) + ln(C) \\ ln(y + 1) = ln( \frac{C}{1 - x} ) \\ y + 1 = \frac{C}{1 -x } \\ y = \frac{C}{1 - x} - 1 \\ y = \frac{C - (1 - x)}{1 - x} \\ y = \frac{C - 1 + x}{1 - x} \\ y = \frac{x + C}{1 - x}$

общее решение

Answer 2

Уравнение (1 + y)dx - (1 - x)dy = 0 можно решить методом разделимых переменных. Для этого давайте попробуем переписать его в следующем виде:

(1 + y)dx = (1 - x)dy

Теперь мы можем разделить переменные, перемещая dx и dy на соответствующие стороны уравнения:

(1 + y)dx = (1 - x)dy dx/(1 - x) = dy/(1 + y)

Теперь интегрируем обе стороны уравнения:

∫(1/(1 - x)) dx = ∫(1/(1 + y)) dy

Для левой стороны используем замену переменной. Пусть z = 1 - x, тогда dz = -dx:

∫(1/z) (-dz) = ∫(1/(1 + y)) dy

Теперь проинтегрируем обе стороны:

-ln|z| + C1 = ln|1 + y| + C2

где C1 и C2 - произвольные постоянные.

Теперь давайте уберем логарифмы и объединим постоянные:

-ln|z| = ln|1 + y| + (C2 - C1)

Теперь возьмем экспоненту от обеих сторон:

|z| = e^(C2 - C1) * |1 + y|

Заметьте, что |z| всегда положительно, поэтому мы можем убрать модуль:

z = e^(C2 - C1) * (1 + y)

Теперь вернемся к переменной x:

1 - x = e^(C2 - C1) * (1 + y)

Теперь мы можем выразить y:

y = e^(C2 - C1) * (1 + y) - 1

y - e^(C2 - C1) * y = e^(C2 - C1) - 1

y(1 - e^(C2 - C1)) = e^(C2 - C1) - 1

Теперь делим обе стороны на (1 - e^(C2 - C1)):

y = (e^(C2 - C1) - 1) / (1 - e^(C2 - C1))

C1 и C2 - произвольные постоянные, которые могут быть определены из начальных условий. Это и есть общее решение данного дифференциального уравнения с разделимыми переменными.