Question

Срочнооо ответьте пожалуйста нужно Будет ли функция, дифференцируемая в точке х=2, непрерывной в этой точке? Срочно 20б Ответ обоснуйте

Answer 1

Ответ: будет.

Пошаговое объяснение:

Если функция дифференцируема в некоторой точке x=x0, то она и непрерывна в ней. Действительно, пусть функция y(x) дифференцируема в точке x=x0. Это значит, что lim Δy/Δx=y'(x0) при Δx⇒0. Отсюда Δy/Δx=y'(x0)+α(x), где α(x) - бесконечно малая величина при x⇒x0, т.е. при  Δx⇒0. Тогда Δy=y'(x0)*Δx+α(x)*Δx, а так как y'(x0) - конечное число, то при Δx⇒0 и Δy⇒0. А это и означает, что в точке x=x0 функция непрерывна. Подставляя теперь x0=2, приходим к утвердительному ответу.  

Answer 2

Да, функция, дифференцируемая в точке $x = 2$, будет непрерывной в этой точке. Это следует из основного свойства дифференцируемых функций, которое гласит, что любая функция, дифференцируемая в некоторой точке $x = a$, также будет непрерывной в этой точке $x = a$.

Интуитивно это означает, что если функция имеет производную (т.е., дифференцируема) в точке $x = 2$, то она также будет непрерывной в этой точке.