Question

Решите уравнение: y' * x^3=2y

Answer 1

Ответ:

это ДУ с разделяющимися переменными.

$y' \times {x}^{3} = 2y \\ \frac{dy}{dx} {x}^{3} = 2y \\ \int\limits \frac{dy}{y} = 2 \int\limits \frac{dx}{ {x}^{3} } \\ ln(y) = 2 \int\limits {x}^{ - 3} dx \\ ln(y) = 2 \times \frac{ {x}^{ - 2} }{( - 2)} + C \\ ln(y) = - \frac{1}{ {x}^{2} } + C$

общее решение

Answer 2

Для решения данного дифференциального уравнения, давайте воспользуемся методом разделения переменных. Уравнение имеет вид:

y' * x^3 = 2y

Разделим обе стороны на y и переместим x^3 на одну сторону:

y' / y = 2 / x^3

Теперь проинтегрируем обе стороны. Интегрирование левой стороны дает нам ln|y| (натуральный логарифм модуля y), а правой стороны - -2 / (2 * x^2) = -1 / x^2:

ln|y| = -1 / x^2 + C

Где C - произвольная постоянная интеграции. Теперь давайте избавимся от натурального логарифма, возводя обе стороны в экспоненту:

|y| = e^(-1 / x^2 + C)

Здесь можно заметить, что e^C - это также константа, которую мы можем обозначить как K:

|y| = Ke^(-1 / x^2)

Теперь разберемся с модулем. Это означает, что y может быть положительным или отрицательным. Рассмотрим два случая:

1. y > 0: Тогда у нас есть: y = Ke^(-1 / x^2)

2. y < 0: Тогда у нас есть: y = -Ke^(-1 / x^2)

Где K - произвольная постоянная.

Итак, мы решили данное дифференциальное уравнение и получили два общих решения в зависимости от знака y.