Question

Интеграл (x+2)dx/(x^2-x+1)

Answer 1

Решение во вложении.......

Answer 2

Чтобы вычислить данный интеграл, нам потребуется разложить знаменатель дроби на множители и затем воспользоваться методом частей. Вот как это делается:

Интеграл ∫(x+2)dx / (x^2 - x + 1)

1. Сначала разложим знаменатель на множители. Для этого найдем дискриминант квадратного трехчлена в знаменателе:

   Δ = (-1)^2 - 4 * 1 * 1 = 1 - 4 = -3

   Дискриминант отрицательный, поэтому у нас есть два комплексных корня:

   x1 = (-(-1) + √(-3)) / (2 * 1) = (1 + √3i) / 2 x2 = (-(-1) - √(-3)) / (2 * 1) = (1 - √3i) / 2

2. Теперь разложим знаменатель на множители:

   x^2 - x + 1 = (x - x1)(x - x2)

3. Раскроем знаменатель на множители:

   x^2 - x + 1 = [(x - (1 + √3i)/2)][(x - (1 - √3i)/2)]

4. Теперь разложим дробь на частные дроби, используя неизвестные коэффициенты A и B:

   ∫(x+2)dx / (x^2 - x + 1) = A / (x - (1 + √3i)/2) + B / (x - (1 - √3i)/2)

5. Теперь найдем коэффициенты A и B. Умножим обе стороны уравнения на знаменатели:

   x+2 = A * (x - (1 + √3i)/2) + B * (x - (1 - √3i)/2)

6. Подставим значения корней x1 и x2 и решим систему уравнений:

   Для x = (1 + √3i)/2: (1 + √3i)/2 + 2 = A * ((1 + √3i)/2 - (1 + √3i)/2) + B * ((1 + √3i)/2 - (1 - √3i)/2)

   Упростим и решим для A: (1 + √3i)/2 + 2 = A * 0 + B * √3i (1 + √3i)/2 + 2 = B * √3i

   B = [(1 + √3i)/2 + 2] / (√3i)

   Аналогично, можно найти A для x = (1 - √3*i)/2.

7. Теперь, когда мы нашли коэффициенты A и B, можем интегрировать:

   ∫(x+2)dx / (x^2 - x + 1) = A / (x - (1 + √3i)/2) + B / (x - (1 - √3i)/2)

   Подставим значения A и B: ∫(x+2)dx / (x^2 - x + 1) = [((1 + √3i)/2 + 2) / (√3i)] / (x - (1 + √3i)/2) + [((1 - √3i)/2 + 2) / (-√3i)] / (x - (1 - √3i)/2)

   Теперь можно проинтегрировать каждую из частных дробей, используя метод частей или другие методы интегрирования.