Question

Пусть a, b, c – такие числа, что а + b + с = 0. Доказать, что ab + bc +ca ≤ 0.

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

Так как при сложении трёх чисел ,мы получаем 0 - значит , что :

Или все числа равны нулю.

Или есть отрицательные числа .

Если есть отрицательное число - значит 0 будет больше данного выражения ,ведь при ab+bc+ca - при умножении число будет менять знак на отрицательный .

Второй случай - если все числа равняются нулю , то и при сложении ,и при умножении нули дают нуль .

Если речь идет про НЕ ЦЕЛЫЕ числа , то при умножении на не целое число , изначальное будет уменьшаться ,пример :

0.1+0.1-0.2=0 - это a+b+c=0

Тогда : 0.1*0.1=0.01 + 0.1*0.2=0.02 и дальше при умножении (-0.2) на 0.1 = -0.02 , а 0.02+(-0.02) = 0 ,что соответствует условию .  

Answer 2

Для доказательства неравенства ab + bc + ca ≤ 0 при условии a + b + c = 0, давайте рассмотрим несколько вариантов.

1. Если все числа a, b и c равны нулю, то ab + bc + ca = 0, и неравенство выполняется.

2. Если два из трех чисел равны нулю, например, a = 0 и b = 0, то ab + bc + ca = 0, и неравенство также выполняется.

3. Рассмотрим случай, когда все числа a, b и c не равны нулю. Мы знаем, что a + b + c = 0, поэтому мы можем выразить одну из переменных через остальные. Допустим, мы выразим c:

c = -a - b

Теперь мы можем подставить это выражение в исходное неравенство:

ab + (-a - b)b + a(-a - b) ≤ 0

Раскроем скобки и упростим:

ab - ab - b^2 - a^2 - ab ≤ 0

Теперь объединим подобные члены и упростим еще раз:

-a^2 - b^2 ≤ 0

Это неравенство верно, так как квадрат любого числа (в данном случае a и b) не может быть отрицательным. Таким образом, мы доказали, что ab + bc + ca ≤ 0 при условии a + b + c = 0, и это неравенство выполняется для всех возможных значений a, b и c.