Question

Cos^x/2-sin^x/2больше меньше или равно -√3/2 решить неравенство очень прошу пожалуйста

Answer 1

По формуле косинуса двойного угла уравнение сворачивается:

Answer 2

Чтобы решить данное неравенство, нам нужно найти значения x, для которых:

cos(x/2) - sin(x/2) ≥ -√3/2

Давайте разберемся с этим неравенством.

Сначала давайте выразим sin(x/2) через cos(x/2), используя тождество:

sin^2(x/2) + cos^2(x/2) = 1

sin^2(x/2) = 1 - cos^2(x/2)

sin(x/2) = ±√(1 - cos^2(x/2))

Теперь мы можем подставить это в наше неравенство:

cos(x/2) - sin(x/2) ≥ -√3/2

cos(x/2) - ±√(1 - cos^2(x/2)) ≥ -√3/2

Теперь давайте рассмотрим два случая: плюс и минус перед корнем.

Случай 1: плюс перед корнем:

cos(x/2) - √(1 - cos^2(x/2)) ≥ -√3/2

Для этого случая сначала увеличим оба члены на √3/2:

cos(x/2) - √(1 - cos^2(x/2)) + √3/2 ≥ 0

Теперь возведем оба члена в квадрат, чтобы избавиться от корня:

(cos(x/2) - √(1 - cos^2(x/2)) + √3/2)^2 ≥ 0

(cos(x/2))^2 - 2cos(x/2)√(1 - cos^2(x/2)) + (1 - cos^2(x/2)) + 3/2√3 - cos(x/2)√3 + 3/4 ≥ 0

Теперь упростим выражение:

(cos(x/2))^2 - 2cos(x/2)√(1 - cos^2(x/2)) + (1 - cos^2(x/2)) + 3/2√3 - cos(x/2)√3 + 3/4 ≥ 0

(cos(x/2))^2 - 2cos(x/2)√(1 - cos^2(x/2)) + (1 - cos^2(x/2)) + 3/2√3 - cos(x/2)√3 + 3/4 - 1 + 1 ≥ 0

(cos(x/2))^2 - 2cos(x/2)√(1 - cos^2(x/2)) + (1 - cos^2(x/2)) - (cos(x/2)√3 - 3/4√3) + 1 ≥ 0

(cos(x/2))^2 - 2cos(x/2)√(1 - cos^2(x/2)) + (1 - cos^2(x/2)) - (√3/2)(cos(x/2) - 3/4) + 1 ≥ 0

(cos(x/2))^2 - 2cos(x/2)√(1 - cos^2(x/2)) + (1 - cos^2(x/2)) - (√3/2)(cos(x/2) - 3/4) + 1 ≥ 0

Теперь обозначим t = cos(x/2), и у нас получится квадратное уравнение относительно t:

(t^2 - 2t√(1 - t^2) + (1 - t^2) - (√3/2)(t - 3/4) + 1) ≥ 0

Решив это квадратное неравенство относительно t, мы сможем найти диапазон значений t, для которых исходное неравенство выполняется.

Случай 2: минус перед корнем:

cos(x/2) + √(1 - cos^2(x/2)) ≥ -√3/2

Для этого случая сначала увеличим оба члены на √3/2:

cos(x/2) + √(1 - cos^2(x/2)) - √3/2 ≥ 0

Затем возведем оба члена в квадрат, чтобы избавиться от корня, и продолжим аналогично предыдущему случаю, используя переменную t = cos(x/2).

После того как вы решите оба случая (с плюсом и минусом перед корнем), найденные диапазоны значений t будут представлять допустимые значения для cos(x/2). После этого вы сможете найти соответствующие значения x.

Обратите внимание, что это довольно сложное вычисление, и оно может потребовать много шагов. Если у вас есть доступ к математическому программному обеспечению, это может быть проще сделать с его помощью.