Question

Пожалуйста помогите! Найти частные производные по x и y в точке (3;4) от функции f( x , y ) = x + y – √( x^(2 )+ y^(2 ) ) ps то что после минуса идет все под квадратной скобкой

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

$f(x,y)=x+y-\sqrt{x^2+y^2}$     точка (3;4)

при поиске частной производной по х, у считаем константой, тогда

$\displaystyle \frac{d}{dx } =\bigg (x+y-\sqrt{x^2+y^2}\bigg )_x'= x_x'+y_x'- ( \sqrt{x^2+y^2})'_x=\\\\=1+0-\frac{1}{2\sqrt{x^2+y^2} } *2x= 1-\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2} }$

аналогично при поиске частной производной по у, константой считаем х

$\displaystyle \frac{d}{dy } \bigg (x+y-\sqrt{x^+y^2}\bigg )'_y =x'_y+y'_y-(\sqrt{x^2+y^2})'_y=\\\\=0+1 -\frac{1}{2\sqrt{x^2+y^2} } *2y=1-\frac{y}{\sqrt{x^2+y^2} }$

теперь посчитаем значение частных производных в точке (3;4)  - подставим х = 3  и у = 4  в формулы частных производных

$\displaystyle \frac{d}{dx} _{(3;4)}= -\frac{3}{\sqrt{3^2+4^2} } +1= -\frac{3}{\sqrt{25} } +1== 1- \frac{3}{5} =\frac{2}{5}$

$\displaystyle \frac{d}{dy} _{(3;4)}=- \frac{4}{\sqrt{3^2+4^2} } +1 =1- \frac{4}{\sqrt{25} } =1-\frac{4}{5} =\frac{1}{5}$

Answer 2

Для нахождения частных производных функции f(x, y) = x + y - √(x^2 + y^2) по переменным x и y в точке (3, 4), мы будем использовать правило дифференцирования сложной функции. Сначала найдем частную производную по x:

1. Частная производная по x (df/dx):

df/dx = ∂/∂x (x + y - √(x^2 + y^2))

Давайте рассмотрим каждый член по отдельности:

a. ∂/∂x (x) = 1, так как производная x по x равна 1. b. ∂/∂x (y) = 0, так как y не зависит от x. c. Теперь нам нужно найти производную последнего члена -√(x^2 + y^2) по x. Для этого воспользуемся цепным правилом (правилом дифференцирования сложной функции).

Для функции u = -√(x^2 + y^2), u' = -(1/2)(x^2 + y^2)^(-1/2) * (2x).

Теперь мы можем вычислить частную производную по x:

df/dx = 1 + 0 - (-1/2)(x^2 + y^2)^(-1/2) * (2x)

Теперь подставим x = 3 и y = 4:

df/dx|_(3, 4) = 1 + 0 - (-1/2)(3^2 + 4^2)^(-1/2) * (2 * 3)

df/dx|_(3, 4) = 1 + 0 + (3/5) * 6

df/dx|_(3, 4) = 1 + 0 + 18/5

df/dx|_(3, 4) = 18/5

Теперь найдем частную производную по y:

2. Частная производная по y (df/dy):

df/dy = ∂/∂y (x + y - √(x^2 + y^2))

Рассмотрим каждый член по отдельности:

a. ∂/∂y (x) = 0, так как x не зависит от y. b. ∂/∂y (y) = 1, так как производная y по y равна 1. c. Теперь нам нужно найти производную последнего члена -√(x^2 + y^2) по y снова, используя цепное правило.

Для функции u = -√(x^2 + y^2), u' = -(1/2)(x^2 + y^2)^(-1/2) * (2y).

Теперь мы можем вычислить частную производную по y:

df/dy = 0 + 1 - (-1/2)(x^2 + y^2)^(-1/2) * (2y)

Подставим x = 3 и y = 4:

df/dy|_(3, 4) = 1 - (-1/2)(3^2 + 4^2)^(-1/2) * (2 * 4)

df/dy|_(3, 4) = 1 + (4/5) * 8

df/dy|_(3, 4) = 1 + 32/5

df/dy|_(3, 4) = 32/5

Итак, частная производная по x в точке (3, 4) равна 18/5, а частная производная по y в точке (3, 4) равна 32/5.