Question

Дан прямоугольный параллелепипед ABCDA1B1C1D1 со сторонами AB = 2, AD = 4, AA1 = 3. Чему равен угол между плоскостями ABC и DCB1?

Answer 1

Ответ:

а) Плоскости ABC_1 и BCC_1 перпендикулярны. Перпендикуляр из точки B_1 к плоскости ABC_1 лежит в плоскости BCC_1 и пересекает прямую BC_1 в точке E. Поэтому AE − проекция AB_1 на плоскость ABC_1.

б) По предыдущему пункту искомый угол равен углу B_1AE. В прямоугольном треугольнике B_1AE катет B_1E= дробь, числитель — корень из { 2}, знаменатель — 2 , гипотенуза AB_1= корень из { 5}. Поэтому

синус \angle B_1AE= дробь, числитель — B_1E, знаменатель — AB_1 = дробь, числитель — 1, знаменатель — { корень из { 10}}.

Тогда \angle B_1AE= \arcsin дробь, числитель — 1, знаменатель — { корень из { 10}}.

Ответ: \arcsin дробь, числитель — 1, знаменатель — { корень из { 10}}.

Answer 2

Для нахождения угла между плоскостями ABC и DCB1 в прямоугольном параллелепипеде, мы можем использовать косинус угла между нормалями к этим плоскостям. Нормаль к плоскости можно найти как векторное произведение двух векторов, лежащих в этой плоскости.

1. Найдем векторы, лежащие в плоскостях ABC и DCB1.

   В плоскости ABC лежат векторы AB и AD. В плоскости DCB1 лежат векторы DC и DB1.

2. Найдем нормали к этим плоскостям, взяв векторные произведения:

   Нормаль к плоскости ABC: N1 = AB x AD Нормаль к плоскости DCB1: N2 = DC x DB1

3. Найдем косинус угла между нормалями:

   cos(θ) = (N1 · N2) / (||N1|| * ||N2||)

где · обозначает скалярное произведение векторов, а ||N1|| и ||N2|| - длины соответствующих нормалей.

4. Рассчитаем косинус угла:

   N1 = AB x AD = (2i + 0j + 0k) x (0i + 4j + 0k) = (0i + 0j - 8k) ||N1|| = √(0^2 + 0^2 + (-8)^2) = 8

   N2 = DC x DB1 = (0i + 0j - 4k) x (0i + 0j - 3k) = (12i + 0j + 0k) ||N2|| = √(12^2 + 0^2 + 0^2) = 12

   Теперь вычислим cos(θ):

   cos(θ) = ((0 * 12) + (0 * 0) + (-8 * 0)) / (8 * 12) = 0 / 96 = 0

5. Найдем угол θ, взяв обратный косинус от полученного значения:

   θ = arccos(0) = 90 градусов

Таким образом, угол между плоскостью ABC и плоскостью DCB1 равен 90 градусов.