Question

Провести полное исследование функции и построить ее график у=(х^2+1)/(x^2-1)

Answer 1

Ответ:

ДАНО

Y= (x²+1)/x.

ИССЛЕДОВАНИЕ

1. Область определения - Х≠0 - деление на 0.

Х∈(-∞,0]∪[0,+∞)

2. Пересечение с осью Х

Y(x) = 0 - Корней нет - нет точек пересечения.

3. Пересечение с осью Y

X∈ ∅

4. Поведение на бесконечности.

Y(-∞) = -∞

Y(+∞) = +∞

5. Наклонная асимптота

Y = x.

6. Исследование на четность.

Y(-x) = - (x²+1)/x

Y(x) = (x²+1)/x

Функция нечетная.

7. Производная функции

Y' = 2 - (x2+1)/x²

8. Корни производной.

Y' = 0. х1 = -1 и х2 = 1. - точки экстремумов.

9. Монотонность.

Возрастает - Х∈(-∞, -1]∪[1,+∞)

Максимум - Ymax(-1) = -2

Убывает- Х∈[-1,0]∪[0,1]

Минимум - Ymin(1) = 2.

10. Построение графика

в приложении.

Пошаговое объяснение:

так?

Answer 2

Давайте проведем полное исследование функции $y = \frac{x^2 + 1}{x^2 - 1}$ и построим ее график. Для начала рассмотрим ее характеристики:

1. Область определения: Функция $y$ определена для всех значений $x$, кроме тех, которые делают знаменатель равным нулю. То есть, $x^2 - 1$ не должно быть равно нулю, поэтому $x$ не может быть равно $1$ или $-1$. Таким образом, область определения функции - все значения $x$, кроме $x \in \{-1, 1\}$.

2. Асимптоты:

   • Горизонтальная асимптота: Когда $x$ стремится к бесконечности ($x \to \infty$ или $x \to -\infty$), то $y$ приближается к $1$, потому что старшие члены $x^2$ в числителе и знаменателе доминируют.
   • Вертикальные асимптоты: Функция имеет вертикальные асимптоты в $x = 1$ и $x = -1$ из-за нулей в знаменателе.

3. Нули функции: Нули функции $y$ могут быть найдены, когда числитель равен нулю, т.е., $x^2 + 1 = 0$, но это уравнение не имеет действительных корней, так как $x^2$ всегда неотрицательно, и $1$ также положительно. Следовательно, у функции нет действительных нулей.

4. Знак функции: Можно анализировать знак функции на интервалах между вертикальными асимптотами. На интервале $(-1, 1)$, функция положительна, так как числитель и знаменатель положительны. На интервалах $(- \infty, -1)$ и $(1, \infty)$, функция также положительна. На интервале $(-1, 1)$, функция отрицательна из-за вертикальных асимптот.

5. Поведение при $x \to \pm 1$: Когда $x$ приближается к $-1$ или $1$, функция $y$ стремится к бесконечности.

Теперь построим график функции:

На графике видно, что функция имеет вертикальные асимптоты в $x = 1$ и $x = -1$. Она положительна на интервалах $(-1, 1)$, $(1, \infty)$ и $(-\infty, -1)$, и отрицательна на интервале $(1, 1)$. Вблизи вертикальных асимптот функция быстро возрастает, когда $x$ приближается к $-1$ или $1$.