Question

Для некоторого числа вычислили остатки от деления на 6, 14 и 21. Оказалось, что сумма этих остатков не равна 38. Какое наибольшее значение она может принимать?

Answer 1

Ответ: 35

Пошаговое объяснение:

Поскольку натуральное число N при делении на a может давать остаток не более чем a-1, то наибольшая сумма остатков  от деления на 6, 14 и 21 равна : 5+13+20 = 38, но по условию 38 нам не подходит.

Достаточно легко привести пример такого числа N, чтобы сумма остатков была равна 35.

Например при N = 40 остаток от деления на 6 равен 4, на 14 равен 12, а на 21 равен 19.

4+12+19 = 35.

Пусть хотя бы один из остатков равен 0, но тогда максимально возможная сумма остатков не может быть больше чем 35: 20+13 = 33<35.

Предположим, что сумма остатков может быть равна 36 или 37.

Учитывая вышесказанное, остаток 0 далее рассматривать не будем.

Если она равна 37, то это возможно в том случае, когда два остатка из трех максимально возможны, а третий остаток на 1 меньше максимально возможного, иначе говоря, два из остатков равны -1, а один из остатков равен -2. Например, если  остаток от деления 10 на 6 равен 4, то можно сказать, что в отрицательном эквиваленте оно дает при делении на 6 остаток (-2).

Если же сумма равна 36, то либо два из остатков равны -2, а третий - 1, либо два из остатков равны -1, а третий -3.  

Как видим, все эти случаи объединяет одно, всегда найдется два числа из чисел 6, 14 и 21, остатки от деления на которые равны, причем третий остаток обязательно будет от них отличен.

Тогда должно быть справедливо хотя бы одно из равенств:

N = 14n-k = 6m-k

N = 14n-k = 21m-k

N =6n-k = 21m-k

Где: N- рассматриваемое натуральное число.

n,m - натуральные числа.

k∈{1;2} - натуральное число.

Учитывая, что k сокращается, то видим три случая:

1)14n = 6m

7n = 3m, отсюда из взаимной простоты 7 и 3 : 7n=3m = 21r  r - натуральное число. 14n = 6m = 21r*2 = 21f  f - натуральное число.

Но тогда N = 21f - k , то есть дает остаток -k при делении на 21.

То есть при делении на все 3 числа  6, 14 и 21 должен получится один и тот же остаток, что противоречит предположению.  

Для остальных двух случаев получаем тоже самое ( из взаимной простоты):

2)14n=21m=6f

3) 21n = 6m = 14f

То есть мы пришли к противоречию.

Получить в сумме 36 или 37 невозможно.

Ответ:35

Answer 2

Ответ:

может 35 мы с челом проверили так будет скорее всего?

Пошаговое объяснение:

Answer 3

Давайте обозначим остатки от деления искомого числа на 6, 14 и 21 как $x$, $y$ и $z$ соответственно. Нам известно, что:

$x \mod 6 = x$

$y \mod 14 = y$

$z \mod 21 = z$

Мы хотим найти наибольшее значение суммы $x + y + z$, которое не равно 38.

Сначала давайте рассмотрим остатки от деления на 14 и 21, так как они больше и могут внести более значительный вклад в сумму.

$y + z \leq 13 + 20 = 33$ (наибольшие возможные значения для остатков от деления на 14 и 21 соответственно).

Теперь мы хотим найти максимальное значение $x$, чтобы сделать сумму $x + y + z$ как можно больше, но не равное 38. Мы можем выбрать $x$ равным 4 (максимальное значение, которое не делит 6), и тогда:

$x + y + z = 4 + 33 = 37$

Сумма равна 37, и это наибольшее значение, которое она может принимать, не равное 38.