Question

Срочно. Диф. уравнение 2dy/y - dx/x=0

Answer 1

Ответ:

$2 \frac{dy}{y} - \frac{dx}{x} = 0 \\ 2\int\limits \frac{dy}{y} = \int\limits \frac{dx}{x} \\ 2 ln(y) = ln(x) + ln(C) \\ 2 ln(y) = ln(Cx) \\ {y}^{2} = Cx$

общее решение

Answer 2

Это дифференциальное уравнение можно решить с помощью метода разделения переменных. Давайте начнем с переписывания его в более удобной форме:

$\frac{2dy}{y} - \frac{dx}{x} = 0$

Сначала объединим все дифференциалы с y на одной стороне и все дифференциалы с x на другой стороне:

$\frac{2dy}{y} = \frac{dx}{x}$

Теперь давайте разделим переменные, переместив $dy$ и $dx$ на соответствующие стороны уравнения:

$\frac{2}{y}dy = \frac{1}{x}dx$

Теперь мы можем интегрировать обе стороны. Интегрирование дает:

$\int \frac{2}{y}dy = \int \frac{1}{x}dx$

Интегрируя обе стороны, получим:

$2\ln|y| = \ln|x| + C$

Здесь $C$ - произвольная постоянная интеграции. Теперь давайте избавимся от логарифмов, используя экспоненту:

$e^{2\ln|y|} = e^{\ln|x| + C}$

$e^{2\ln|y|} = e^{\ln|x|} \cdot e^C$

Теперь упростим:

$|y|^2 = |x| \cdot e^C$

С учетом постоянной $C$ исходного уравнения, мы можем записать ее как новую постоянную $K = e^C$:

$|y|^2 = |x| \cdot K$

Теперь разберемся с модулями. Варианты решения будут различаться в зависимости от знаков $x$ и $y$. Рассмотрим два случая:

1. Если $x > 0$ и $y > 0$, то уравнение становится:

   $y^2 = xK$

2. Если $x < 0$ и $y > 0$, то уравнение становится:

   $y^2 = -xK$

3. Если $x > 0$ и $y < 0$, то уравнение становится:

   $y^2 = -xK$

4. Если $x < 0$ и $y < 0$, то уравнение становится:

   $y^2 = xK$

Таким образом, у вас есть четыре варианта решения, в зависимости от знаков $x$ и $y$, и постоянной $K$.