Question

Встановити, що рівняння визначає гіперболу, знайти її центр, півосі. 16x^2-9y^2-64x-54y-161=0

Answer 1

Дано уравнение 16x²-9y²-64x-54y-161=0.

Выделяем полные квадраты переменных:

16(x²-2·2x+ 2²) -16·2² = 16(x-2)²-64

-9(y²+2·3y + 3²) +9·3² = -9(y+3)²+81

В итоге получаем:

16(x-2)²-9(y+3)² = 144

Разделим все выражение на 144

((x-2)²/9) - ((y+3)²/16) = 1.

Параметры кривой.

Данное уравнение определяет гиперболу с центром в точке:

C(2; -3)  и полуосями:

a = 3 (действительная полуось); b = 4 (мнимая полуось)

Найдем координаты ее фокусов: F1(-c;0) и F2(c;0), где c - половина расстояния между фокусами. F1 = (-3; -3) и F2 = (7; -3).

Определим параметр c: c² = a² + b² = 9 + 16 = 25.

c = 5.

Тогда эксцентриситет будет равен:  е = 5/3.

Асимптотами гиперболы будут прямые:  у = +-(4/3)(х - 2) - 3.

Директрисами гиперболы будут прямые:  х = +-(9/5) - 2.

Answer 2

Для того, щоб визначити, чи є це рівняння гіперболою і знайти її центр та півосі, спростимо спочатку рівняння до канонічної форми гіперболи.

Рівняння гіперболи в загальному вигляді має вигляд:

$Ax^2 - By^2 + Cx + Dy + E = 0,$

де A, B, C, D, і E - це константи.

У вашому випадку, рівняння має вигляд:

$16x^2 - 9y^2 - 64x - 54y - 161 = 0.$

Давайте спростимо його до канонічної форми гіперболи шляхом групування термінів:

$16x^2 - 9y^2 - 64x - 54y - 161 = 0$

$16x^2 - 64x - 9y^2 - 54y - 161 = 0$

Тепер додамо і віднімемо терміни, які допоможуть нам виділити повні квадрати для x і y:

$16(x^2 - 4x) - 9(y^2 + 6y) - 161 = 0$

Тепер звернемо увагу на коефіцієнти при квадратних доданках для x і y:

$16(x^2 - 4x + 4) - 9(y^2 + 6y + 9) - 161 = 0$

Тепер ми виділили повні квадрати для x і y. Перепишемо рівняння з поправками:

$16(x - 2)^2 - 9(y + 3)^2 - 161 + 64 - 9 = 0$

$16(x - 2)^2 - 9(y + 3)^2 - 106 = 0$

Тепер ми маємо рівняння у канонічній формі для гіперболи:

$\frac{(x - 2)^2}{\frac{106}{16}} - \frac{(y + 3)^2}{\frac{106}{9}} = 1$

З цього рівняння видно, що гіпербола має центр у точці (2, -3). Півосі гіперболи знаходяться у напрямках x та y і визначаються діленням чисельника під кожним квадратним доданком на відповідний коефіцієнт у знаменнику. Отже, півосі гіперболи для цього випадку матимуть довжини:

Півосі по x: $\sqrt{\frac{106}{16}} = \sqrt{\frac{53}{8}}$.

Півосі по y: $\sqrt{\frac{106}{9}} = \sqrt{\frac{106}{9}}$.

Отже, центр гіперболи розташований в точці (2, -3), півосі по x мають довжину $\sqrt{\frac{53}{8}}$, а півосі по y мають довжину $\sqrt{\frac{106}{9}}$.