Question

Найдите расстояние от вершины A до плоскости BCD треугольной пирамиды, противоположные ребра которой попарно равны AB=CD=4, AC=BD=6, AD=BC=7. В ответе выпишите результат, округленный до целого. Срочно!!!!!!!!!!!!!

Answer 1

Пусть основание пирамиды - грань АВС.

Решение удалось только с применением аналитической геометрии.

Пирамиду поместим в систему координат: точкой А(0; 0;0) в начало, точкой С(6; 0; 0) - по оси Ох.

Для определения положения вершины пирамиды точки D к сторонам треугольника АВС наложим развёртки боковых граней.

Точка D находится на пересечении перпендикуляров из наложенных точек D к сторонам треугольника АВС.

По теореме косинусов определяем углы треугольника АВС и координаты точки В.

cosA = (6²+4²-7²)/(2*6*4) = 3/48 = 1/16 = 0,0625.

A = arc cos(1/16) = 1,50826 радиан или 86,41668 градуса.

Находим координаты точки В:

х(В) = AB*cosA = 4*(1/16) = 1/4 = 0,25.

y(B) = AB*sinA = 4*√(1-(1/16)²) = 4*0,99805 = 3,99218

.

По координатам точек А и В составляем уравнение стороны АВ в плоскости АВС:

(x/0,25) = (y/3,99218) или в общем виде 3,99218x + 0,25y = 0.

Находим уравнение перпендикуляра к стороне АВ из наложенной точки D.

Для этого решаем треугольники боковых граней ABD и ACD и находим проекции ребра AD на стороны АВ и АС.

AD₁          AD₂

3,625      5,75.

По ним находим уравнения перпендикуляров и точку их пересечения Do

Уравнение D₁Do: -0,25 x + -3,992179856 y +  C  = 0,

Подставляем координаты точки D₁:

-0,056640625 + -14,44335938  +C = 0  и определяем С = 14,5.

Уравнение D₁Do:        

-0,25 x + -3,992179856 y + 14,5 = 0.

или с угловым коэффициентом y = -0,0626 x + 3,632100888.

Подставим сюда х точки D₂ и получаем координаты проекции точки D на АВС:

координаты Do  

х                у

5,750       3,272021921.

По Пифагору находим величину проекции AD на АВС:

АDo = 6,615786231.

Отсюда определяем высоту пирамиды:

H = DDo = √(7² - 6,615786231²) = 2,28722.

Так как все грани пирамиды имеют равные длины рёбер, то высоты из любой вершины на противоположную грань равны.

Ответ: расстояние от вершины A до плоскости BCD равно 2,28722.

Answer 2

Для нахождения расстояния от вершины A до плоскости BCD треугольной пирамиды, можно воспользоваться формулой для вычисления расстояния от точки до плоскости.

Формула для расстояния от точки P (A в данном случае) до плоскости с уравнением Ax + By + Cz + D = 0: $d = \frac{|Ax + By + Cz + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$

В данном случае нам нужно найти коэффициенты A, B, C и D для уравнения плоскости BCD. Мы можем воспользоваться уравнением плоскости, зная координаты точек B, C и D.

1. B(0, 0, 0)
2. C(6, 0, 0)
3. D(0, 8, 0)

Для нахождения векторов, лежащих в плоскости BCD, можно взять векторное произведение векторов $\vec{BC}$ и $\vec{BD}$. Векторное произведение векторов $\vec{BC}$ и $\vec{BD}$ даст нам нормальный вектор к плоскости BCD.

$\vec{BC} = \vec{C} - \vec{B} = (6, 0, 0) - (0, 0, 0) = (6, 0, 0)$

$\vec{BD} = \vec{D} - \vec{B} = (0, 8, 0) - (0, 0, 0) = (0, 8, 0)$

Теперь найдем нормальный вектор к плоскости BCD, взяв векторное произведение:

$\vec{n} = \vec{BC} \times \vec{BD} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 6 & 0 & 0 \\ 0 & 8 & 0 \end{vmatrix} = (0, 0, 48)$

Теперь мы знаем нормальный вектор к плоскости BCD, и можем записать уравнение этой плоскости:

$0x + 0y + 48z + D = 0$

Теперь нам нужно найти значение D. Для этого мы можем воспользоваться координатами одной из точек B, C или D. Давайте используем координаты точки D (0, 8, 0):

$0*0 + 0*8 + 48*0 + D = 0$

$D = 0$

Итак, уравнение плоскости BCD имеет вид:

$48z = 0$

Теперь мы можем использовать формулу для расстояния от точки A до этой плоскости:

$d = \frac{|Ax + By + Cz + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$

В нашем случае, $A = 0$, $B = 0$, $C = 48$, $D = 0$, $x = 0$, $y = 0$, $z = 7$.

Подставляя значения в формулу:

$d = \frac{|0*0 + 0*0 + 48*7 + 0|}{\sqrt{0^2 + 0^2 + 48^2}}$

$d = \frac{|336|}{48}$

$d = \frac{336}{48}$

$d = 7$