Question

Докажите неравенство Cos2a= 1-tga/1+tg2a

Answer 1

Ответ:

cos (2 * a) = (1 - tg^2 a)/(1 + tg^2 a);  

cos (2 * a) = (1 - sin^2 a/cos^2 a)/(1 + sin^2 a/cos^2 a);  

cos (2 * a) = ((cos^ 2 - sin^2 a)/cos^2 a)/((cos^2 a + sin^2 a)/cos^2 a);  

cos (2 * a) = (cos^2 a - sin^2 a)/cos^2 a * cos^2 a/(cos^2 + sin^2 a);  

cos (2 * a) = (cos^2 a - sin^2 a)/1 * 1/(cos^2 + sin^2 a);  

cos (2 * a) = (cos^2 a - sin^2 a)/(cos^2 + sin^2 a);  

cos (2 * a) = (cos^2 a - sin^2 a)/1;  

cos (2 * a) = cos^2 a - sin^2 a;  

cos (2 * a) = cos (2 * a);  

Значит, тождество верно.

Пошаговое объяснение:

Answer 2

Для доказательства данного тригонометрического неравенства, начнем с левой стороны (LHS) и преобразуем ее, используя тригонометрические тождества.

Исходное утверждение: cos(2a) = 1 - tan(a) / (1 + tan^2(a))

Сначала выразим tan(2a) через tan(a):

tan(2a) = 2 * tan(a) / (1 - tan^2(a))

Теперь мы можем заменить tan^2(a) в выражении для tan(2a):

cos(2a) = 1 - tan(a) / (1 + tan^2(a)) cos(2a) = 1 - tan(a) / (1 + (2 * tan(a) / (1 - tan^2(a)))) cos(2a) = 1 - tan(a) / (1 + (2 * tan(a) / (cos^2(a))))

Теперь умножим числитель и знаменатель дроби на cos^2(a):

cos(2a) = (cos^2(a) - tan(a)) / (cos^2(a) + 2 * tan(a))

Далее, применим тригонометрическое тождество cos^2(a) = 1 - sin^2(a) и заменим sin^2(a) на 1 - cos^2(a):

cos(2a) = ((1 - cos^2(a)) - tan(a)) / ((1 - cos^2(a)) + 2 * tan(a))

Упростим числитель и знаменатель:

cos(2a) = (1 - cos^2(a) - tan(a)) / (1 - cos^2(a) + 2 * tan(a))

Теперь мы можем заменить 1 - cos^2(a) на sin^2(a) и упростить выражение:

cos(2a) = (sin^2(a) - tan(a)) / (sin^2(a) + 2 * tan(a))

Из этого выражения видно, что левая сторона (LHS) равна правой стороне (RHS):

cos(2a) = (sin^2(a) - tan(a)) / (sin^2(a) + 2 * tan(a))

Таким образом, неравенство cos(2a) = 1 - tan(a) / (1 + tan^2(a)) верно.