Question

Наидите наибольшее и наименьшее значение функции y=-3x^3+36x+27 на отрезке [-3;4] 15 баллов

Answer 1

Пошаговое объяснение:

$y=-3x^3+36x+27 \ \ \ \ [-3;4]\\y'=(-3x^3+36x+27)=-9x^2+36=0\\9x^2=36\ |:9\\x^2=4\\x_1=-2\ \ \ \ x_2=2 \ \ \Rightarrow\\y(-3)=-3*(-3)^3+36*(-3)+27=81-108+27=0\\y(-2)=3*(-2)^3+36*(-2)+27=24-72+27=-21.\\y(2)=-3*2^3+36*2+27=-24+72+27=75.\\y(4)=-3*4^3+36*4+27=-192+144+27=-21.$

Ответ: унаиб=75,     унаим=-21.

Answer 2

Для нахождения наибольшего и наименьшего значения функции $y = -3x^3 + 36x + 27$ на отрезке $[-3;4]$, мы должны выполнить следующие шаги:

1. Найдите критические точки функции внутри данного интервала, где производная равна нулю или не существует.
2. Оцените значения функции в найденных критических точках и на концах интервала, чтобы определить наибольшее и наименьшее значение.

Шаг 1: Найдем производную функции и найдем критические точки:

$y = -3x^3 + 36x + 27$

$y' = -9x^2 + 36$

Чтобы найти критические точки, приравняем производную к нулю:

$-9x^2 + 36 = 0$

Решим это уравнение:

$-9x^2 = -36$

$x^2 = 4$

$x = \pm 2$

Итак, у нас есть две критические точки: $x = -2$ и $x = 2$.

Шаг 2: Оценим значения функции в найденных критических точках и на концах интервала:

а) $x = -3$:

$y(-3) = -3(-3)^3 + 36(-3) + 27 = -81 - 108 + 27 = -162 + 27 = -135$

б) $x = -2$:

$y(-2) = -3(-2)^3 + 36(-2) + 27 = -24 - 72 + 27 = -96 + 27 = -69$

в) $x = 2$:

$y(2) = -3(2)^3 + 36(2) + 27 = -24 + 72 + 27 = 75$

г) $x = 4$:

$y(4) = -3(4)^3 + 36(4) + 27 = -192 + 144 + 27 = -48 + 27 = -21$

Теперь у нас есть значения функции в критических точках и на концах интервала:

Максимальное значение: $y(2) = 75$ Минимальное значение: $y(-3) = -135$

Таким образом, наибольшее значение функции $y$ на отрезке $[-3;4]$ равно 75, а наименьшее значение равно -135.