Question

Найти интервалы монотонности и экстремумы функции f(х)=5х/4-х^2

Answer 1

Ответ : X1 = 0 , x2 = 1,25

Answer 2

Чтобы найти интервалы монотонности и экстремумы функции $f(x) = \frac{5x}{4} - x^2$, мы сначала найдем производную функции и решим уравнение $f'(x) = 0$ для определения критических точек, где могут находиться экстремумы. Затем мы исследуем знак производной на интервалах между критическими точками, чтобы найти интервалы монотонности.

1. Найдем производную $f'(x)$: $f'(x) = \frac{d}{dx}\left(\frac{5x}{4} - x^2\right) = \frac{5}{4} - 2x$

2. Теперь решим уравнение $f'(x) = 0$ для поиска критических точек: $\frac{5}{4} - 2x = 0$ $2x = \frac{5}{4}$ $x = \frac{5}{8}$

Таким образом, у нас есть одна критическая точка $x = \frac{5}{8}$.

3. Теперь мы можем исследовать знак производной $f'(x)$ на интервалах:

• Для $x < \frac{5}{8}$, $f'(x)$ положительна (так как $\frac{5}{4} - 2x > 0$). Значит, функция возрастает на этом интервале.

• Для $x > \frac{5}{8}$, $f'(x)$ отрицательна (так как $\frac{5}{4} - 2x < 0$). Значит, функция убывает на этом интервале.

Итак, у нас есть одна критическая точка и два интервала:

• Функция возрастает на интервале $(-\infty, \frac{5}{8})$.
• Функция убывает на интервале $(\frac{5}{8}, +\infty)$.

Теперь найдем экстремумы:

• В точке $x = \frac{5}{8}$, где производная меняет знак с положительного на отрицательный, есть локальный максимум.

Итак, у нас есть локальный максимум в точке $x = \frac{5}{8}$, и функция возрастает на интервале $(-\infty, \frac{5}{8})$ и убывает на интервале $(\frac{5}{8}, +\infty)$.