Question

Объясните пожалуйста как искать градиент и производную по направлению a(вектор) в точке А z = In (10x2 + y2), A (-1;10), a (вектор) = 10 i (вектор) -j (вектор)

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

z = log(10x²+y²)

градиент функции z = f(x,y) это вектор, координатами которого являются частные производные данной функции,  

$\displaystyle grad(z) = \frac{\delta z}{\delta x} i+\frac{\delta z}{\delta y} j$

$\displaystyle { \frac{\delta z}{\delta x} =20\frac{x}{10x^2+y^2} }$

$\displaystyle { \frac{\delta z}{\delta y} =2\frac{y}{10x^2+y^2} }$

$grad(z) = \displaystyle \frac{20x}{10x^2+y^2} i+\frac{2y}{10x^2+y^2} j$

теперь  градиент в точке А(-1;10)

$grad(z)_A = \displaystyle \frac{20*(-1)}{10(-1)^2+(10)^2} i+\frac{2*10}{10(-1)^2+(10)^2} j=-\frac{2}{11} i+\frac{2}{11} j$

и еще нам понадобится модуль grad(z) в точке А

$\mid grad(z)_A \mid= \displaystyle \sqrt{\bigg ( \frac{\delta z}{\delta x} \bigg)^2+\bigg ( \frac{\delta z}{\delta y} \bigg)^2 }=\sqrt{\bigg ( -\frac{2}{11} \bigg)^2+\bigg ( \frac{2}{11} \bigg)^2 }=\frac{2\sqrt{2} }{11}$

теперь направление вектора-градиента задаётся его направляющими косинусами и мы можем рассчитать эти косинусы

$\displaystyle cos \alpha = \frac{\delta z/\delta x}{\mid grad(z)_A \mid} = -\frac{1}{\sqrt{2} } ;$      $\displaystyle cos \beta = \frac{\delta z/\delta y}{\mid grad(z)_A \mid} = \frac{1}{\sqrt{2} } ;$

так, с градиентом расплевались.

теперь производная по направлению вектора    $\dislpaystyle \vec a= 10\vec i-\vec j$

производная в точке А по направлению вектора а(10;-1)

$\displaystyle \frac{\delta z}{\delta a} = \frac{\delta z}{\delta x} cos \alpha +\frac{\delta z}{\delta y} cos\beta$

для косинусов нам понадобится |a|

$\displaystyle \mid a \mid =\sqrt{x^2+y^2} =\sqrt{(-1)^2+10^2} =\sqrt{101}$

$\displaystyle cos \alpha =\frac{x}{\mid a\mid} = \frac{10}{\sqrt{101}} ;$     $\displaystyle cos \beta =\frac{y}{\mid a\mid} = -\frac{1}{\sqrt{101}} ;$

$\displaystyle \frac{\delta z}{\delta a} =\frac{-2}{11} *\frac{10}{\sqrt{101} } +\frac{2}{11}*\frac{-1}{\sqrt{101} } =-\frac{22}{11\sqrt{101} } = -\frac{2\sqrt{101} }{101}$

всё....

Answer 2

Чтобы найти градиент и производную по направлению в данной точке и функции, сначала определим градиент функции z = ln(10x^2 + y^2) и затем вычислим производную по направлению вектора a = 10i - j в точке A (-1, 10).

1. Градиент функции: Градиент функции f(x, y) это вектор, состоящий из частных производных функции f(x, y) по x и по y. Формула для градиента выглядит следующим образом: ∇f(x, y) = (∂f/∂x)i + (∂f/∂y)j

В данном случае, функция z(x, y) = ln(10x^2 + y^2), поэтому:

∂z/∂x = (1 / (10x^2 + y^2)) * (20x) = 20x / (10x^2 + y^2) ∂z/∂y = (1 / (10x^2 + y^2)) * (2y) = 2y / (10x^2 + y^2)

Теперь мы можем вычислить градиент в точке A (-1, 10):

∇f(-1, 10) = (20 * (-1) / (10 * (-1)^2 + 10^2))i + (2 * 10 / (10 * (-1)^2 + 10^2))j ∇f(-1, 10) = (-20 / 110)i + (20 / 110)j

2. Производная по направлению: Чтобы найти производную по направлению вектора a = 10i - j, мы используем следующую формулу:

Daf = ∇f · a

где ∇f - градиент функции, а "·" обозначает скалярное произведение.

Теперь вычислим производную по направлению:

Daf = ((-20 / 110)i + (20 / 110)j) · (10i - j) Daf = (-20 / 110 * 10) + (20 / 110 * (-1)) Daf = (-200 / 110) - (20 / 110) Daf = -220 / 110 Daf = -2

Таким образом, производная функции z = ln(10x^2 + y^2) по направлению вектора a = 10i - j в точке A (-1, 10) равна -2.