Question

Помогите найти частное решение рекуррентного уравнения (далее в скобках нижний индекс) Y(i+2)=-2Y(i+1)-Y(i). Начальные условия Y0=1, Y1=0

Answer 1

Ответ:

$Y_i=(-1)^{i+1}(i-1)$

Пошаговое объяснение:

$Y_{i+2}=-2Y_{i+1}-Y_i \\ \\ Y_{i+2}+2Y_{i+1}+Y_i=0$

Найдем решение с помощью характеристического уравнения:

$k^2+2k+1=0 \\ (k+1)^2=0 \\ k_{1,2}=-1 \\ \\ Y_i=C_1(-1)^i+C_2i(-1)^i$

Найдем С₁ и С₂ из начальных условий:

$\left\{\begin{matrix} Y_0=1 \\ Y_1=0 \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} C_1(-1)^0+C_2*0*(-1)^0=1 \\ C_1(-1)^1+C_2*1*(-1)^1=0\end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} C_1=1 \\ -C_1-C_2=0\end{matrix}\right. \Leftrightarrow \\ \\ \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} C_1=1 \\ -1-C_2=0\end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} C_1=1 \\ C_2=-1\end{matrix}\right.$

$Y_i=(-1)^i-i(-1)^i=(-1)^i(1-i)=-(-1)^i(i-1)=(-1)^{i+1}(i-1)$

Answer 2

Для нахождения частного решения данного рекуррентного уравнения, можно воспользоваться характеристическим уравнением и методом характеристических корней.

Данное рекуррентное уравнение имеет следующий вид: Y(i+2) = -2Y(i+1) - Y(i)

Для поиска частного решения предположим, что Y(i) имеет вид экспоненциальной функции: Y(i) = r^i

Подставим это предположение в рекуррентное уравнение: r^(i+2) = -2r^(i+1) - r^i

Теперь разделим обе стороны на r^i: r^2 = -2r - 1

Это уравнение можно решить с помощью квадратного уравнения. Перепишем его в следующем виде: r^2 + 2r + 1 = 0

Теперь найдем корни этого уравнения. Мы видим, что это квадратный трехчлен, который можно легко разложить в квадрат: (r + 1)^2 = 0

Отсюда получаем один корень: r = -1

Таким образом, одним из корней характеристического уравнения является r = -1. Этот корень имеет кратность 2, так как у нас есть две последовательные степени r в исходном уравнении.

Чтобы найти частное решение, мы можем воспользоваться формулой общего решения для линейных рекуррентных уравнений с кратными корнями:

Y(i) = (A + Bi) * (-1)^i

где A и B - произвольные постоянные, которые нужно найти из начальных условий.

Подставляем начальные условия Y0 = 1 и Y1 = 0:

Y(0) = (A + B0) * (-1)^0 = A = 1 Y(1) = (A + B1) * (-1)^1 = A + B = 0

Из первого уравнения получаем A = 1, а из второго B = -1.

Итак, мы нашли значения A и B: A = 1 B = -1

Теперь можем записать частное решение: Y(i) = (1 - i) * (-1)^i

Это частное решение рекуррентного уравнения Y(i+2) = -2Y(i+1) - Y(i) с начальными условиями Y0 = 1 и Y1 = 0.