Question

Найдите остаток суммы квадратов двух последовательных целых чисел при делении на 4.

Answer 1

1) Числа а и а+1 - два последовательных числа.

2) $a^2+(a+1)^2=a^2+a^2+2a+1=2a^2+2a+1$

3) $2a^2+2a+1=2a(a+1)+1$. Многочлен $2a(a+1)$ делится на 4, т.к одно двух последовательных чисел четное.

4) Соответственно многочлен $2a^2+2a+1$ делится на 4 с остатком 1

Answer 2

Чтобы найти остаток суммы квадратов двух последовательных целых чисел при делении на 4, давайте обозначим эти числа как n и n + 1, где n - любое целое число. Тогда квадраты этих чисел будут равны n^2 и (n + 1)^2.

Рассмотрим остатки от деления n^2 и (n + 1)^2 на 4:

1. n^2 при делении на 4 может иметь остатки 0 или 1, так как (2k)^2 = 4k^2 делится на 4 без остатка, а (2k + 1)^2 = 4k^2 + 4k + 1 даёт остаток 1 при делении на 4 для любого целого k.

2. (n + 1)^2 = n^2 + 2n + 1 также может иметь остатки 0 или 1 при делении на 4. Даже если n^2 имеет остаток 2, 3 или 0 при делении на 4, 2n всегда будет четным числом, и, следовательно, остаток от деления всей суммы на 4 будет равен 1.

Итак, остаток суммы квадратов двух последовательных целых чисел при делении на 4 всегда будет равен 0 или 1 в зависимости от остатка n^2 при делении на 4.