Question

Найти частное решение дифференциального уравнения dx/x=3ydy при у=0 х=1​

Answer 1

Ответ:

$\frac{dx}{x} = 3ydy \\ \int\limits3 ydy = \int\limits \frac{dx}{x} \\ \frac{3 {y}^{2} }{2} = ln(x) + C \\ {y}^{2} = \frac{2}{3} ln(x) + C$

общее решение

$y(1) = 0$

$0 = \frac{2}{3} ln(1) + C \\ C= 0$

${y}^{2} = \frac{2}{3} ln(x)$

частное решение

Answer 2

Давайте решим данное дифференциальное уравнение:

$\frac{dx}{x} = 3y\,dy$

Интегрируя обе части уравнения, получаем:

$\int \frac{1}{x}\,dx = \int 3y\,dy$

$\ln|x| = \frac{3y^2}{2} + C$

Теперь применим начальные условия $y = 0$ и $x = 1$:

$\ln|1| = \frac{3 \cdot 0^2}{2} + C$

$0 = C$

Итак, уравнение принимает следующий вид:

$\ln|x| = \frac{3y^2}{2}$

Теперь мы можем взять экспоненту от обеих сторон уравнения:

$|x| = e^{\frac{3y^2}{2}}$

Так как $e^{\frac{3y^2}{2}} > 0$ для всех $y$, то мы можем избавиться от модуля:

$x = e^{\frac{3y^2}{2}}$

Итак, $x = e^{\frac{3y^2}{2}}$ - это частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее начальным условиям $y = 0$ и $x = 1$.