Question

Срочно нужно Записать вид общего решения дифференионального уровнения y''+6y'+9y=0​​

Answer 1

Ответ:

$y=C_{1}e^{-3x}+C_{2}xe^{-3x}, \quad C_{1}, C_{2}-const$

Пошаговое объяснение:

$y''+6y'+9y=0;$

Запишем и решим характеристическое уравнение:

$\lambda^{2}+6\lambda+9=0;$

$(\lambda+3)^{2}=0;$

$\lambda_{1}=\lambda_{2}=-3;$

Имеем два действительных кратных корня. В этом случае общее решение однородного ДУ примет вид

$y=C_{1}e^{\lambda_{1}x}+C_{2}xe^{\lambda_{2}x}, \quad \lambda_{1,2}=-3 \Rightarrow y=C_{1}e^{-3x}+C_{2}xe^{-3x}, \quad C_{1}, C_{2}-const;$

Answer 2

Для нахождения общего решения дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами, как в данном случае, нужно сначала найти характеристическое уравнение и его корни.

Уравнение имеет вид: y'' + 6y' + 9y = 0

Характеристическое уравнение будет иметь вид: λ^2 + 6λ + 9 = 0

Чтобы найти корни этого уравнения, можно воспользоваться методом квадратного уравнения или заменой переменной. В данном случае, это квадратное уравнение, и его можно легко решить:

(λ + 3)^2 = 0

Теперь мы видим, что у нас есть один кратный корень λ = -3.

Общее решение дифференциального уравнения имеет вид: y(t) = C1 * e^(-3t) + C2 * t * e^(-3t)

Где C1 и C2 - произвольные постоянные, которые могут быть определены из начальных условий, если они заданы. Это и есть общее решение данного дифференциального уравнения.