Question

Интеграл x(1-2x)^3dx

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

Answer 2

Для решения этого интеграла, мы можем воспользоваться методом интегрирования по частям. Формула интегрирования по частям выглядит следующим образом:

∫u dv = uv - ∫v du,

где u и dv - это части интеграла, которые мы выбираем, чтобы провести интегрирование по частям. В данном случае, давайте выберем:

u = x, dv = (1 - 2x)^3 dx.

Теперь вычислим соответствующие производные и дифференциалы:

du = dx, v = ∫dv.

Для вычисления v мы можем воспользоваться заменой переменных. Пусть:

t = 1 - 2x, dt = -2dx, dx = -dt/2.

Тогда:

v = ∫(1 - 2x)^3 dx = ∫t^3 * (-1/2) dt = (-1/2) ∫t^3 dt.

Теперь проинтегрируем v:

v = (-1/2) * (-1/4) * t^4 + C, v = (1/8) * (1 - 2x)^4 + C.

Теперь мы можем воспользоваться формулой интегрирования по частям:

∫x(1 - 2x)^3 dx = uv - ∫v du, ∫x(1 - 2x)^3 dx = x * [(1/8) * (1 - 2x)^4] - ∫[(1/8) * (1 - 2x)^4 * dx].

Теперь осталось вычислить последний интеграл:

∫[(1/8) * (1 - 2x)^4 * dx].

Мы можем использовать метод интегрирования по частям снова:

u = (1/8) * (1 - 2x)^4, dv = dx.

Теперь найдем du и v:

du = -2 * 4 * (1/8) * (1 - 2x)^3 dx, du = - (1 - 2x)^3 dx, v = x.

Применяем формулу интегрирования по частям:

∫[(1/8) * (1 - 2x)^4 * dx] = uv - ∫v du, ∫[(1/8) * (1 - 2x)^4 * dx] = (1/8) * (1 - 2x)^4 * x - ∫x * (1 - 2x)^3 dx.

Теперь у нас есть два интеграла для вычисления:

1. ∫x(1 - 2x)^3 dx, который мы рассматривали ранее.
2. ∫x * (1 - 2x)^3 dx.

Вы можете использовать тот же метод интегрирования по частям для второго интеграла или продолжить вычисления для первого интеграла, используя результаты выше. В итоге, вы найдете окончательное значение интеграла.