Question

НАЙТИ ПРОИЗВОДНУЮ ФУНКЦИИ f(x)=e^x*cos8x

Answer 1

Ответ:

$f'(x) = ( {e}^{x} )'\cos(8x) + {e}^{x} (\cos(8x))' = \\ = {e}^{x} \cos(8x) - 8 \sin(8x) \times {e}^{x} = \\ = {e}^{x} (\cos(8x) - 8 \sin(8x))$

Answer 2

Для нахождения производной функции $f(x) = e^x \cdot \cos(8x)$, мы будем использовать правило производной произведения (производной умножения). Это правило утверждает, что производная произведения двух функций равна произведению первой функции на производную второй функции плюс произведение второй функции на производную первой функции. Математически это записывается как:

$(u \cdot v)' = u' \cdot v + u \cdot v'$,

где $u$ и $v$ - это две функции, а $u'$ и $v'$ - их производные.

В нашем случае, $u = e^x$ и $v = \cos(8x)$. Давайте найдем производные этих функций:

1. $u' = \frac{d}{dx}(e^x) = e^x$.

2. $v' = \frac{d}{dx}(\cos(8x))$.

Теперь нам нужно найти производную $\cos(8x)$. Для этого мы можем использовать цепное правило дифференцирования. Цепное правило утверждает, что производная композиции двух функций равна произведению производной внешней функции на производную внутренней функции.

В данном случае, внешняя функция - $\cos(u)$, а внутренняя функция - $8x$. Таким образом, производная $\cos(8x)$ будет равна:

$\frac{d}{dx}(\cos(8x)) = -\sin(8x) \cdot \frac{d}{dx}(8x) = -8\sin(8x)$.

Теперь, когда у нас есть производные обеих функций $u$ и $v$, мы можем применить правило производной произведения:

$(e^x \cdot \cos(8x))' = e^x \cdot (-8\sin(8x)) + \cos(8x) \cdot e^x$.

Теперь мы можем упростить это выражение:

$-8e^x\sin(8x) + e^x\cos(8x)$.

Итак, производная функции $f(x) = e^x \cdot \cos(8x)$ равна:

$f'(x) = -8e^x\sin(8x) + e^x\cos(8x).$