Question

Как решить следующее дифференциальное уравнение?) y'(x+√x) = √(1-y)

Answer 1

Ответ:

$y'(x + \sqrt{x} ) = \sqrt{1 - y} \\ \frac{dy}{dx} (x + \sqrt{x} ) = \sqrt{1 - y} \\ \int\limits \frac{dy}{1 - y} = \int\limits \frac{dx}{x + \sqrt{x} } \\ \\ 1) \int\limits \frac{dy}{ \sqrt{1 - y} } = - \int\limits \frac{d( - y)}{ \sqrt{1 - y} } = \\ = - \int\limits {(1 - y)}^{ \frac{1}{2} } d(1 - y) = \\ = - \frac{ {(1 - y)}^{ \frac{3}{2} } }{ \frac{3}{2} } = - \frac{2}{3} \sqrt{ {(1 - y)}^{3} } \\ \\ 2) \int\limits \frac{dx}{ \sqrt{x} + x} \\ \\ \sqrt{x} = t \\ x = {t}^{2} \\ dx = 2tdt \\ \\ \int\limits \frac{2tdt}{ {t}^{2} + t } = \int\limits \frac{2dt}{t + 1} = \\ 2 \int\limits \frac{d(t + 1)}{ t + 1} = 2 ln(t + 1) + C = \\ = 2 ln( \sqrt{x} + 1) + C\\ \\ - \frac{2} {3} \sqrt{ {(1 - y)}^{3} } = 2 ln(1 + \sqrt{x} ) + C \\ \sqrt{ {(1 - y)}^{3} } = - 3 ln( \sqrt{x} + 1 ) + C$

общее решение

Answer 2

Для решения данного дифференциального уравнения сначала давайте преобразуем его и выразим y'(x) в явной форме. Для этого выполним следующие шаги:

1. Умножим обе стороны уравнения на dx, чтобы избавиться от дифференциала:

   y'(x+√x) dx = √(1-y) dx

2. Разделим обе стороны на √(1-y):

   (1/√(1-y)) dy = dx/(x+√x)

3. Теперь интегрируем обе стороны. Левая сторона интеграла представляет собой функцию, обратную к функции √(1-y):

   ∫(1/√(1-y)) dy = ∫(1/(x+√x)) dx

4. Для интегрирования левой стороны можно воспользоваться заменой переменной. Пусть t = 1 - y, тогда dt = -dy. Таким образом:

   -∫(1/√t) dt = ∫(1/(x+√x)) dx

5. Проинтегрируем обе стороны:

   -2√t + C1 = ln| x+√x | + C2

где C1 и C2 - постоянные интегрирования.

6. Теперь выразим t (1 - y) и решим уравнение относительно y:

   -2√(1-y) = ln| x+√x | + C

7. Избавимся от минуса и возведем обе стороны в квадрат:

   4(1-y) = (x+√x)^2 * e^(2C)

8. Упростим правую сторону, объединив константу e^(2C):

   4(1-y) = A * (x+√x)^2

где A = e^(2C).

9. Теперь выразим y:

   1-y = (A/4) * (x+√x)^2

   y = 1 - (A/4) * (x+√x)^2

Таким образом, найдено общее решение данного дифференциального уравнения.