Question

Обчислити площу фігури обмеженої лініями y=4-x² та y=x+2​

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

рисуем график и из него берем все, что нужно для формулы площади

y₁=4-x²;  y₂=x+2​;   х₁ = -2;  х₂ = 1

$\displaystyle S=\int\limits^1_{-2} {(4-x^2-x-2)x} \, dx =\int\limits^1_{-2} {(-x^2-x+2)x} \, dx =$

$\displaystyle = -\frac{x^3}{3} \bigg \vert_{-2}^1-\frac{x^2}{2} \bigg \vert_{-2}^1+2x\bigg \vert_{-2}^1=-3+1.5+6=4.5=\frac{9}{2}$

Answer 2

Щоб обчислити площу фігури, обмеженої лініями $y = 4 - x^2$ та $y = x + 2$, потрібно знайти точки перетину цих двох функцій. Потім обчислимо площу обмеженої фігури між цими двома точками за допомогою інтегралу.

1. Знайдемо точки перетину: Прирівняємо $y$:

   $$4 - x^2 = x + 2$$

   Переносимо все на одну сторону:

   $$x^2 + x - 6 = 0$$

   Факторизуємо:

   $$(x + 3)(x - 2) = 0$$

   Отримуємо дві точки перетину: $x = -3$ і $x = 2$.

2. Обчислимо площу між цими двома точками за допомогою інтегралу: Площа фігури між $x = -3$ і $x = 2$ буде:

   $$\text{Площа} = \int_{-3}^{2} [(4 - x^2) - (x + 2)] \, dx$$

   Розкриваємо дужки та обчислюємо інтеграл:

   $$\text{Площа} = \int_{-3}^{2} (2 - x^2 - x) \, dx$$
   $$= \left[2x - \frac{x^3}{3} - \frac{x^2}{2}\right]_{-3}^{2}$$
   $$= \left[4 - \frac{8}{3} - 2 - \left(-54 + \frac{27}{3} - \frac{9}{2}\right)\right]$$
   $$= \frac{71}{6} \approx 11.8333 \, \text{кв. од.}$$

Отже, площа фігури обмеженої цими лініями дорівнює приблизно $11.8333$ квадратними одиницями.