Question

есть правильный кубик у которого на противоположных гранях написаны цифры 1,2 и 3 соответственно. Пусть случайная величина Х- число единиц, выпавших при трех подбрасываниях кубика. Найти зауон распредклкния СВХ и ее чисовые харауткристики.

Answer 1

Ответ:

Есть правильный кубик, у которого на противоположных гранях написаны цифры 1, 2 и 3 соответственно. Пусть Х - число единиц, выпавших при двух бросаниях кубика. Найти закон распределения случайной величины Х, а также М[Х] и D[Х].  

2. Плотность распределения случайной величины Х имеет вид:  

 

Найти: а) постоянную С; б) функцию распределения; в)   .

3. Двумерная случайная величина (Х, Y) - координаты точки - распределена равномерно в круге радиуса R с центром в начале координат. Пусть Z - расстояние от этой точки до начала координат. Найти M[Z] и D[Z].

Решения

1. Легко сообразить, что  , то есть оба раза выпадает 2 или 3.

Один раз 1 может выпасть или при первом, или при втором бросании, и, следовательно,

 .

Очевидно, что  .

Поскольку сумма всех вероятностей равна 1, то ряд распределения построен правильно:

 

0 1 2

 

4/9 4/9 1/9

Отсюда получаем функцию распределения:

 

Числовые характеристики в данном случае найти легко непосредственно (то есть, не прибегая к производящим функциям).

Математическое ожидание

 .

Второй начальный момент:

.

Дисперсия

 

Задача №1 решена.

2. Исходя из условия нормировки, получим:

 

откуда   .

Функция распределения

.

Вероятность попадания в интервал   в силу специфики данного распределения равна, очевидно, вероятности попадания в интервал  , а она составит    

Итак,  

Задача №2 решена.

3. При решении этой задачи нужно использовать методы вычисления характеристик функций нескольких случайных аргументов.

В общем случае, если СВ   есть функция n

Пошаговое объяснение:

Answer 2

Для данной задачи случайная величина $X$, которая представляет собой количество выпавших единиц при трех подбрасываниях кубика, может принимать значения 0, 1, 2 и 3. Распределение этой случайной величины называется биномиальным, так как каждое подбрасывание кубика является независимым событием, и вероятность выпадения единицы (успеха) одинакова в каждом испытании.

Вероятность того, что при одном подбрасывании выпадет единица, равна $p = \frac{1}{6}$, так как на кубике есть 6 граней, и только одна из них имеет цифру 1. Вероятность того, что не выпадет единица (неудача), равна $q = 1 - p = \frac{5}{6}$.

Распределение случайной величины $X$ можно записать в виде:

$P(X = k) = C_n^k \times p^k \times q^{n-k}$

где $n$ - количество подбрасываний (в данном случае $n = 3$), $k$ - количество успехов (единиц), $C_n^k$ - биномиальный коэффициент (число сочетаний из $n$ по $k$).

1. Для $k = 0$:

$P(X = 0) = C_3^0 \times \left(\frac{1}{6}\right)^0 \times \left(\frac{5}{6}\right)^3 = 1 \times 1 \times \frac{125}{216} = \frac{125}{216}$

2. Для $k = 1$:

$P(X = 1) = C_3^1 \times \left(\frac{1}{6}\right)^1 \times \left(\frac{5}{6}\right)^2 = 3 \times \frac{1}{6} \times \frac{25}{36} = \frac{25}{72}$

3. Для $k = 2$:

$P(X = 2) = C_3^2 \times \left(\frac{1}{6}\right)^2 \times \left(\frac{5}{6}\right)^1 = 3 \times \frac{1}{36} \times \frac{5}{6} = \frac{5}{72}$

4. Для $k = 3$:

$P(X = 3) = C_3^3 \times \left(\frac{1}{6}\right)^3 \times \left(\frac{5}{6}\right)^0 = 1 \times \frac{1}{216} \times 1 = \frac{1}{216}$

Теперь рассмотрим числовые характеристики случайной величины $X$:

1. Математическое ожидание (среднее):

$E(X) = np = 3 \times \frac{1}{6} = \frac{1}{2}$

2. Дисперсия:

$Var(X) = npq = 3 \times \frac{1}{6} \times \frac{5}{6} = \frac{5}{12}$

3. Стандартное отклонение:

$\sigma =\sqrt{}$ 0 0