Question

Y=x³+3x²-45x-2 найти промежутки возрастания

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

промежутки убывания и возрастания ищем при помощи производной

y' = 3x²+6x-45

ищем критические точки (точки, где функция меняет знак).

для этого приравниваем производную к нулю

3x²+6x-45 = 0 ⇒  x₁ = 3;   x₂ = -5

получили промежутки

(-∞ ;-5); (-5; 3); (3; +∞)

теперь смотрим знак производной на промежутках и делаем вывод о возрастании функции на этих промежутках

(-∞ ;-5)

y'(-10) = 3*(-10)²+6*(-10) -45=  > 0 - функция возрастает

(-5; 3)

y'(0) = 3*0+6*0-45 < 0 - функция убывает

(3; +∞)

y'(10) = 3*(10)²+6*10 -45  > 0 - функция возрастает

промежутки возрастания (-∞ ;-5) и  (3; +∞)

Answer 2

Для нахождения промежутков возрастания функции $y = x^3 + 3x^2 - 45x - 2$ мы можем использовать производную этой функции. Промежутки возрастания функции соответствуют интервалам, на которых её производная положительна.

1. Начнем с нахождения производной $y$ по $x$:

$y' = 3x^2 + 6x - 45$.

2. Теперь решим уравнение $3x^2 + 6x - 45 = 0$ для нахождения критических точек (точек, в которых производная равна нулю или не существует):

$3x^2 + 6x - 45 = 0$.

3. Решим это квадратное уравнение:

$$x^2 + 2x - 15 = 0.$$

4. Разложим левую часть на множители:

$$(x + 5)(x - 3) = 0.$$

Отсюда получаем два значения $x$: $x = -5$ и $x = 3$.

5. Теперь найдем знаки производной $y'$ на интервалах между критическими точками и за пределами:

• Для $x < -5$ мы можем выбрать значение $x = -6$, например. Тогда $3(-6)^2 + 6(-6) - 45 = 108 - 36 - 45 = 27 > 0$, значит, на этом интервале производная положительна.

• Для интервала $-5 < x < 3$, выберем $x = 0$: $3(0)^2 + 6(0) - 45 = -45 < 0$, значит, на этом интервале производная отрицательна.

• Для $x > 3$, выберем $x = 4$, например: $3(4)^2 + 6(4) - 45 = 48 + 24 - 45 = 27 > 0$, следовательно, производная положительна.

Таким образом, функция $y = x^3 + 3x^2 - 45x - 2$ возрастает на интервалах $(-∞, -5)$ и $(3, +∞)$.