Question

Дано точки А(7;10), B(10;15), C(13;10), D(10;5). Довести, що чотирикутник АВСD ромб і записати рівняння його висоти опущеної з вершини А.

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

AB=√(7-10)²+(10-15)²=√9+25=√34

BC=√(10-13)²+(15-10)²=√9+25=√34 и т. д.

Answer 2

Для того чтобы довести, что четырёхугольник ABCD - это ромб, мы можем воспользоваться свойствами ромбов:

1. Все стороны четырёхугольника равны между собой.
2. Диагонали четырёхугольника пересекаются под прямым углом.

Давайте проверим эти свойства.

Сначала определим длины сторон четырёхугольника ABCD:

Сторона AB: AB = √[(10 - 7)^2 + (15 - 10)^2] AB = √(3^2 + 5^2) AB = √(9 + 25) AB = √34

Сторона BC: BC = √[(13 - 10)^2 + (10 - 15)^2] BC = √(3^2 + 5^2) BC = √(9 + 25) BC = √34

Сторона CD: CD = √[(10 - 13)^2 + (5 - 10)^2] CD = √(3^2 + 5^2) CD = √(9 + 25) CD = √34

Сторона DA: DA = √[(7 - 10)^2 + (10 - 5)^2] DA = √(3^2 + 5^2) DA = √(9 + 25) DA = √34

Теперь у нас есть доказательство, что все стороны четырёхугольника равны между собой (AB = BC = CD = DA), что является первым свойством ромба.

Чтобы доказать второе свойство ромба, нам нужно показать, что диагонали пересекаются под прямым углом. Для этого определим координаты середины диагонали AC и BD, а затем проверим, что их произведение наклонов равно -1.

Середина диагонали AC: x_AC = (7 + 13) / 2 = 10 y_AC = (10 + 10) / 2 = 10

Середина диагонали BD: x_BD = (10 + 10) / 2 = 10 y_BD = (15 + 5) / 2 = 10

Теперь вычислим наклон прямых AC и BD:

Наклон AC: m_AC = (10 - 10) / (10 - 10) = 0/0 (неопределённый)

Наклон BD: m_BD = (10 - 10) / (10 - 10) = 0/0 (неопределённый)

Обратите внимание, что оба наклона равны 0/0, что означает, что обе диагонали вертикальны. Поскольку обе диагонали вертикальны и их середины совпадают, они пересекаются под прямым углом.

Итак, мы доказали, что четырёхугольник ABCD является ромбом.

Теперь давайте найдем уравнение высоты, опущенной из вершины А. Высота, опущенная из вершины А, будет перпендикулярна стороне BC. Найдем уравнение прямой, содержащей сторону BC:

Уравнение прямой BC: Мы уже вычислили координаты точек B(10;15) и C(13;10). Теперь вычислим наклон этой прямой:

m_BC = (y_C - y_B) / (x_C - x_B) = (10 - 15) / (13 - 10) = (-5) / 3

Теперь мы знаем наклон прямой BC. Чтобы найти уравнение высоты, опущенной из вершины A, нужно найти прямую, перпендикулярную BC. Наклон такой прямой будет -1/m_BC:

m_perpendicular = -1 / m_BC = -1 / (-5/3) = 3/5

Теперь мы знаем наклон прямой, опущенной из вершины A. Для нахождения уравнения этой прямой, используем точку A(7;10):

Уравнение высоты: y - y_A = m_perpendicular(x - x_A)

Подставим значения:

y - 10 = (3/5)(x - 7)

Упростим:

5y - 50 = 3x - 21

Теперь, перегруппируем уравнение:

5y - 3x = 29

Это уравнение представляет собой уравнение высоты, опущенной из вершины A в ромбе ABCD.