Question

Найти производную y=(ln(x))^x

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

.................................................

Answer 2

Чтобы найти производную функции y = (ln(x))^x, воспользуемся правилом дифференцирования сложной функции (цепного правила). Для этого применим следующие шаги:

1. Обозначим внутреннюю функцию как u(x) = ln(x).
2. Обозначим внешнюю функцию как v(u) = u^x.

Теперь мы можем применить цепное правило, которое утверждает, что производная сложной функции равна произведению производной внешней функции на производную внутренней функции. Формально это записывается как (v(u))' = v'(u) * u'.

Давайте найдем производные:

1. Производная внутренней функции u(x) = ln(x): u'(x) = 1/x.

2. Производная внешней функции v(u) = u^x: Сначала применим правило степени: v(u) = u^x = e^(x * ln(u)). Теперь используем правило дифференцирования экспоненты: v'(u) = (d/dx)[e^(x * ln(u))] = e^(x * ln(u)) * (d/dx)[x * ln(u)].

Теперь выразим (d/dx)[x * ln(u)]:

(d/dx)[x * ln(u)] = x * (d/dx)[ln(u)] + ln(u) * (d/dx)[x].

1. (d/dx)[ln(u)] = (d/dx)[ln(ln(x))] = (1/ln(x)) * (d/dx)[ln(x)] = (1/ln(x)) * (1/x).

2. (d/dx)[x] = 1.

Теперь подставим эти значения обратно в производную внешней функции v'(u):

v'(u) = e^(x * ln(u)) * [(1/ln(x)) * (1/x) + ln(u) * 1] v'(u) = (1/ln(x)) * (1/x) * e^(x * ln(u)) + ln(u) * e^(x * ln(u)).

Теперь у нас есть выражение для производной внешней функции v(u) = u^x. Но мы хотели найти производную исходной функции y = (ln(x))^x, поэтому давайте подставим обратно значение u(x) = ln(x):

v'(u) = (1/ln(x)) * (1/x) * e^(x * ln(u)) + ln(u) * e^(x * ln(u)).

Теперь у нас есть выражение для производной функции y = (ln(x))^x:

y'(x) = v'(u) = (1/ln(x)) * (1/x) * e^(x * ln(ln(x))) + ln(ln(x)) * e^(x * ln(ln(x))).

Это и есть производная функции y = (ln(x))^x по переменной x.