Question

Найти промежутки выпуклости и точки перегиба функции f(x)=x^3-6x^2+2x-6

Answer 1

Ответ:

в описании.

Пошаговое объяснение:

Чтобы найти промежутки выпуклости и точки перегиба функции, необходимо найти её вторую производную и приравнять её нулю.

$></p> <p><img src=$

На промежутке (-∞;2) вторая производная отрицательна ($f''(0)=-12$) ⇒ функция f(x) выпукла вверх;

На промежутке (2;+∞) вторая производная положительна ($f''(4)=12$) ⇒ функция f(x)  выпукла вниз;

Точка $x=2$ - точка перегиба.

Answer 2

Для нахождения промежутков выпуклости и точек перегиба функции f(x) = x^3 - 6x^2 + 2x - 6, начнем с нахождения второй производной f''(x) и затем найдем её нули.

1. Найдем первую производную функции f(x): f'(x) = 3x^2 - 12x + 2.

2. Теперь найдем вторую производную, которая будет нам указывать на выпуклость/вогнутость функции: f''(x) = 6x - 12.

3. Найдем точки перегиба, решив уравнение f''(x) = 0: 6x - 12 = 0.

Решение: 6x = 12, x = 2.

Таким образом, точка x = 2 является кандидатом на точку перегиба.

4. Для определения промежутков выпуклости и вогнутости, выберем тестовые точки с обеих сторон от найденной точки перегиба (например, x = 0 и x = 4), и вычислим значение второй производной в этих точках:

• Для x = 0: f''(0) = 6 * 0 - 12 = -12.

• Для x = 4: f''(4) = 6 * 4 - 12 = 24 - 12 = 12.

Теперь мы можем сделать выводы о промежутках выпуклости и точках перегиба:

• Если f''(x) < 0, то функция выпукла в этом интервале.
• Если f''(x) > 0, то функция вогнута в этом интервале.

Таким образом, у нас есть следующая информация:

• Функция f(x) выпукла на интервале (-∞, 2).
• Функция f(x) вогнута на интервале (2, +∞).

Точка x = 2 - это точка перегиба функции f(x).