Question

Диагональ основания правильной четырехугольной пирамиды равна 6 см, а боковое ребро наклонено к плоскости основания под углом 60°. а) Найдите высоту пирамиды; б) Найдите площадь боковой и полной поверхности пирамиды.

Answer 1

В основании пирамиды лежит квадрат.

ΔAHC - равносторонний, т.к. ∠A=60° => и другие углы тоже равны 60°

На рисунке видно, что АС - диагональ квадрата.

Формула диагонали квадрата:

AC=AB√2=6√2 см

т.к. ΔAHC - равносторонний, AC=CH=HA=6√2 см

ΔAOH - прямоугольный

AO - половина диагонали

AO=AC/2=6√2/2=3√2

по теореме Пифагора:

OH=√HA²-AO²=√ (6√2)²-(3√2)²=√72-18=√54=√9*6=3√6 см

Площадь боковой поверхности:

S1=1/2*P*h=1/2*4*6*3√6=36√6 см²

Площадь основания:

S2=a²=6²=36 см²

Площадь полной поверхности:

S=S1+S2=36√6+36=36(√6+1) см²

Answer 2

Для решения этой задачи нам нужно использовать геометрические свойства правильной четырехугольной пирамиды. Правильная четырехугольная пирамида имеет основание, которое является квадратом, и боковые грани, которые являются равнобедренными треугольниками. Таким образом, у нас есть несколько важных данных:

1. Диагональ основания равна 6 см. Поскольку основание - это квадрат, можно найти длину его стороны. Пусть 'a' - длина стороны квадрата:

   a² = (диагональ)² = 6² = 36 a = √36 = 6 см

2. Боковое ребро наклонено к плоскости основания под углом 60°.

   Для правильной пирамиды, угол между боковой гранью и плоскостью основания равен половине центрального угла основания. У центрального угла квадрата 90°, поэтому угол между боковой гранью и плоскостью основания равен 90° / 2 = 45°.

Теперь мы можем перейти к решению задачи:

а) Найдем высоту пирамиды (h):

Мы можем рассмотреть правильный треугольник, который составляется боковой гранью, стороной основания и половиной высоты пирамиды. У нас есть следующие данные:

Угол между боковой гранью и плоскостью основания (α) = 45° Половина длины стороны основания (a/2) = 6 см

Мы можем использовать тангенс угла α:

tan(α) = (половина высоты) / (a/2)

tan(45°) = (h/2) / (6 см)

1 = (h/2) / 6 см

h/2 = 6 см

h = 2 * 6 см = 12 см

Таким образом, высота пирамиды равна 12 см.

б) Теперь найдем площадь боковой поверхности (S_b) и полной поверхности (S_t) пирамиды.

Для площади боковой поверхности берем площадь боковых граней пирамиды. В данном случае у нас четыре равнобедренных треугольника. Площадь одного такого треугольника можно найти как (a * h) / 2, где 'a' - сторона основания, а 'h' - высота пирамиды:

S_b = 4 * (a * h) / 2 = 4 * (6 см * 12 см) / 2 = 4 * 72 см² / 2 = 4 * 36 см² = 144 см²

Теперь найдем площадь полной поверхности, которая включает в себя площадь основания и площадь боковой поверхности:

S_t = S_b (боковая поверхность) + S_base (основание)

Основание - это квадрат, поэтому его площадь равна стороне в квадрате:

S_base = a² = 6 см * 6 см = 36 см²

S_t = 144 см² (боковая поверхность) + 36 см² (основание) = 180 см²

Таким образом, площадь боковой поверхности пирамиды равна 144 квадратным сантиметрам, а полная площадь поверхности пирамиды равна 180 квадратным сантиметрам.