Question

Диф. ур. с разделяющимися переменными x^2y'-2xsin(y)=3sin(y) при y(1)=2

Answer 1

Ответ:

${x}^{2} y' - 2x \sin(y) = 3 \sin(y) \\ {x}^{2} y' = 2x \sin(y) + 3 \sin(y) \\ {x}^{2} \frac{dy}{dx} = \sin(y) \times (2x + 3) \\ \int\limits \frac{dy}{ \sin(y) } = \int\limits \frac{2x + 3}{ {x}^{2} } dx$

$ln(tg( \frac{x}{2}) ) = \int\limits( \frac{2}{x} + 3 {x}^{ - 2} )dx \\ ln(tg( \frac{x}{2 }) ) = 2 ln(x) - \frac{3}{x} + C$

общее решение

$y(1) = 2$

$ln(tg(1)) = 2 ln(1) - 3 + C \\ C = ln( \frac{\pi}{4} ) - 0 + 3 = ln( \frac{\pi}{4} ) + 3$

$ln(tg( \frac{x}{2} )) = 2 ln(x) - \frac{3}{x} + ln( \frac{\pi}{4} ) + 3 \\ ln(tg( \frac{x}{2} ) ) = ln( \frac{\pi {x}^{2} }{4} ) + 3$

частное решение

Answer 2

Для решения данного дифференциального уравнения с разделяющимися переменными, давайте выполним следующие шаги:

1. Перепишем уравнение в стандартной форме:

   x^2 * y' - 2x * sin(y) = 3 * sin(y)

2. Разделим обе стороны уравнения на (x^2 - 3):

   (x^2 * y' - 2x * sin(y)) / (x^2 - 3) = sin(y)

3. Теперь давайте разделим переменные, перемещая все члены, содержащие y, на одну сторону уравнения, а все члены, содержащие x, на другую:

   (1/sin(y)) dy = ((2x * sin(y))/(x^2 - 3)) dx

4. Теперь мы можем взять интеграл от обеих сторон уравнения:

   ∫(1/sin(y)) dy = ∫((2x * sin(y))/(x^2 - 3)) dx

5. Вычислим интегралы:

   Левая сторона: ∫(1/sin(y)) dy = -ln|csc(y) + cot(y)| + C1

   Правая сторона: ∫((2x * sin(y))/(x^2 - 3)) dx = ∫(2x / (x^2 - 3)) dx

6. Для вычисления правой стороны уравнения сделаем замену переменной. Пусть t = x^2 - 3, тогда dt = 2x dx:

   ∫(2x / (x^2 - 3)) dx = ∫(1 / t) dt

7. Интегрируем правую сторону:

   ∫(1 / t) dt = ln|t| + C2

8. Теперь мы имеем следующее уравнение:

   -ln|csc(y) + cot(y)| + C1 = ln|t| + C2

9. Мы можем объединить константы C1 и C2 в одну общую константу C:

   -ln|csc(y) + cot(y)| + C = ln|t| + C

10. Перепишем уравнение, избавившись от логарифмов:

ln|t| - ln|csc(y) + cot(y)| = C

11. Воспользуемся свойствами логарифмов и перепишем уравнение без логарифмов:

ln(|t| / |csc(y) + cot(y)|) = C

12. Теперь возьмем экспоненту от обеих сторон уравнения:

|t| / |csc(y) + cot(y)| = e^C

13. Поскольку e^C - это константа, обозначим ее как K:

|t| / |csc(y) + cot(y)| = K

14. Теперь восстановим t:

|x^2 - 3| / |csc(y) + cot(y)| = K

15. Используем начальное условие y(1) = 2:

|1^2 - 3| / |csc(2) + cot(2)| = K |1 - 3| / |(1/sin(2)) + (cos(2)/sin(2))| = K |2| / |(1 + cos(2))/sin(2)| = K

16. Вычислим значение K:

K = 2 * sin(2)/(1 + cos(2))

Итак, окончательное решение дифференциального уравнения:

|x^2 - 3| / |csc(y) + cot(y)| = 2 * sin(2)/(1 + cos(2))