Question

Зробіть креслення і обчисліть площу фігури, обмеженої даними лініями: y = x^2+2х, y = x+2

Answer 1

Ответ:

решение на фотографии.

Answer 2

Для обчислення площі фігури, обмеженої лініями y = x^2 + 2x та y = x + 2, спочатку знайдемо точки їх перетину. Потім побудуємо креслення та визначимо площу, обмежену цими лініями.

Спершу знайдемо точки перетину:

Поставимо обидві рівності рівними одне одному: x^2 + 2x = x + 2

Розподілимо все на один бік і отримаємо квадратне рівняння: x^2 + 2x - x - 2 = 0 x^2 + x - 2 = 0

Тепер розв'яжемо це рівняння для x. Можна використовувати дискримінант:

D = b^2 - 4ac, де a = 1, b = 1 і c = -2.

D = 1^2 - 4(1)(-2) = 1 + 8 = 9

Тепер знайдемо значення x, використовуючи квадратний корінь дискримінанта:

x = (-b ± √D) / (2a) x = (-1 ± √9) / (2 * 1) x = (-1 ± 3) / 2

Таким чином, ми отримуємо дві значущі точки перетину:

1. x1 = (-1 + 3) / 2 = 2 / 2 = 1
2. x2 = (-1 - 3) / 2 = -4 / 2 = -2

Тепер, знаючи значення x, ми можемо знайти відповідні значення y:

1. Для x = 1: y1 = 1^2 + 2 * 1 = 1 + 2 = 3

2. Для x = -2: y2 = (-2)^2 + 2 * (-2) = 4 - 4 = 0

Ми знайшли точки перетину (1, 3) та (-2, 0). Тепер ми можемо побудувати креслення та знайти площу фігури, обмеженої цими лініями.

Креслення: Перша лінія, y = x^2 + 2x, - це парабола, яка відкривається вгору і проходить через точку (1, 3). Друга лінія, y = x + 2, - це пряма зі схилом 45 градусів, яка перетинає ось y при y = 2.

Фігура обмежена цими лініями виглядає як парабола, яка обмежується прямою. Площу цієї фігури можна обчислити як інтеграл від y = x^2 + 2x до y = x + 2 від x = -2 до x = 1:

S = ∫[from -2 to 1] (x + 2 - x^2 - 2x) dx

Спростимо це рівняння та обчислимо інтеграл:

S = ∫[from -2 to 1] (2 - x^2) dx S = [2x - (x^3/3)] |[from -2 to 1]

S = [(2 * 1 - (1^3/3)) - (2 * (-2) - ((-2)^3/3))] S = [(2 - 1/3) - (-4 + 8/3)] S = [(6/3 - 1/3) + (8/3 + 4/3)] S = [(5/3) + (12/3)] S = 17/3

Отже, площа фігури, обмеженої лініями y = x^2 + 2x та y = x + 2, дорівнює 17/3 квадратних одиниць.