Question

Определить тип дифференциального уравнения первого порядка и найти его общее решение: y'+y cosx =cosx

Answer 1

Ответ:

решение на фотографии.

Answer 2

Данное дифференциальное уравнение первого порядка выглядит следующим образом:

y' + y * cos(x) = cos(x)

Это линейное дифференциальное уравнение первого порядка. Оно имеет вид y' + P(x) * y = Q(x), где P(x) = cos(x) и Q(x) = cos(x).

Чтобы найти общее решение этого уравнения, мы можем использовать метод интегрирующего множителя. Для этого найдем интегрирующий множитель μ(x), удовлетворяющий уравнению:

μ(x) * (y' + P(x) * y) = μ(x) * Q(x)

В данном случае:

μ(x) * (y' + cos(x) * y) = μ(x) * cos(x)

Выберем μ(x) так, чтобы левая сторона стала полным дифференциалом. То есть:

μ(x) * (y' + cos(x) * y) = d(μ(x) * y)/dx

Теперь найдем μ(x). Уравнение для μ(x) имеет вид:

d(μ(x))/dx = μ(x) * cos(x)

Решим это дифференциальное уравнение для μ(x):

d(μ(x))/μ(x) = cos(x) dx

Интегрируя обе стороны, получим:

ln|μ(x)| = ∫cos(x) dx

ln|μ(x)| = sin(x) + C1, где C1 - произвольная постоянная

μ(x) = e^(sin(x) + C1)

Теперь у нас есть значение интегрирующего множителя μ(x). Теперь мы можем умножить изначальное уравнение на μ(x):

e^(sin(x) + C1) * (y' + cos(x) * y) = e^(sin(x) + C1) * cos(x)

Теперь левая сторона является полным дифференциалом:

d(e^(sin(x) + C1) * y)/dx = e^(sin(x) + C1) * cos(x)

Интегрируя обе стороны, получим:

e^(sin(x) + C1) * y = ∫e^(sin(x) + C1) * cos(x) dx + C2, где C2 - еще одна произвольная постоянная

Теперь разделим обе стороны на e^(sin(x) + C1):

y = (1/e^(sin(x) + C1)) * (∫e^(sin(x) + C1) * cos(x) dx + C2)

Это общее решение данного дифференциального уравнения.