Question

Докажите тождество: f'(1)+f'(-1)=-4f(0), если f(x)=x^5+x^3-2x-3​

Answer 1

$f'(x)=(x^5+x^3-2x-3)'=5x^4+3x^2-2 \\ \\ f'(1)=5\cdot 1^4+3\cdot 1^2-2=5+3-2=6 \\ \\ f'(-1)=5\cdot (-1)^4+3\cdot (-1)^2-2=5\cdot 1 +3\cdot 1-2=5+3-2=6 \\ \\ f(0)=0^5+0^3-2\cdot 0 -3=-3 \\ \\ -4\cdot f(0)=(-4)\cdot (-3)=12 \\ \\ f'(1)+f'(-1)=-4f(0) \\ \\ 6+6=12 \\ \\ 12=12$

Answer 2

Для доказательства данного тождества нам нужно найти производные функции f(x) и затем подставить их в выражение f'(1) + f'(-1) = -4f(0). Давайте начнем с нахождения производных.

Сначала найдем производную f(x):

f(x) = x^5 + x^3 - 2x - 3

f'(x) = 5x^4 + 3x^2 - 2

Теперь найдем f'(1) и f'(-1):

f'(1) = 5(1)^4 + 3(1)^2 - 2 = 5 + 3 - 2 = 6

f'(-1) = 5(-1)^4 + 3(-1)^2 - 2 = 5 + 3 - 2 = 6

Теперь подставим эти значения в исходное уравнение:

f'(1) + f'(-1) = 6 + 6 = 12

И, наконец, найдем f(0):

f(0) = (0)^5 + (0)^3 - 2(0) - 3 = 0

Теперь подставим значение f(0) в исходное уравнение:

-4f(0) = -4(0) = 0

Теперь мы видим, что f'(1) + f'(-1) = 12, в то время как -4f(0) = 0. Они не равны друг другу, следовательно, данное тождество f'(1) + f'(-1) = -4f(0) неверно для данной функции f(x).