Question

Помогите пожалуйста сделать дифференциальное уравнение: y'(x^2-4)=2xy , y(0)=0.

Answer 1

Ответ:

$y'\, (x^2-4)=2xy\ \ ,\ \ \ y(0)=0\\\\y'=\dfrac{2xy}{x^2-4}\ \ ,\ \ \ \displaystyle \int \frac{dy}{y}=\int \frac{2x\, dx}{x^2-4}\ \ ,\\\\\\ln|y|=ln|x^2-4|+lnC\ \ ,\ \ \ y>0\ ,\ x^2-4>0\ ,\\\\\boxed{\ y=C(x^2-4)\ }\ \ ,\ \ \ y>0\ \ ,\ \ x\in (-\infty;-2)\cup (\, 2;+\infty )$

Начальные условия заданы неверно, так как  у≠0  и  х≠0 .

Answer 2

Давайте решим это дифференциальное уравнение. Сначала перепишем его в стандартной форме:

y'(x^2 - 4) = 2xy

Теперь давайте разделим обе стороны на (x^2 - 4):

y' = (2xy) / (x^2 - 4)

Далее, мы можем воспользоваться методом разделения переменных. Для этого давайте переместим все слагаемые, содержащие y, на одну сторону уравнения, а слагаемые с x на другую сторону:

y' = (2xy) / (x^2 - 4)

y' = 2xy / (x^2 - 4)

Теперь давайте разделим обе стороны уравнения:

y' / y = 2x / (x^2 - 4)

Далее, мы можем интегрировать обе стороны относительно переменных. Для левой стороны уравнения это интеграл ln|y|, а для правой стороны, мы можем воспользоваться методом частных дробей для интегрирования:

∫(1/y) dy = ∫(2x / (x^2 - 4)) dx

ln|y| = ∫(2x / (x^2 - 4)) dx

Теперь интегрируем правую сторону:

ln|y| = ∫(2x / (x^2 - 4)) dx

Для интегрирования правой стороны, мы можем воспользоваться частными дробями. Разложим 2x / (x^2 - 4) на простые дроби:

2x / (x^2 - 4) = A/(x - 2) + B/(x + 2)

Теперь найдем значения A и B. Умножим обе стороны на (x^2 - 4) для получения общего знаменателя:

2x = A(x + 2) + B(x - 2)

Раскроем скобки и объединим подобные члены:

2x = (A + B)x + 2A - 2B

Сравним коэффициенты при x:

A + B = 2 2A - 2B = 0

Решая эту систему уравнений, найдем значения A и B. Сначала из второго уравнения выразим A:

2A - 2B = 0 2A = 2B A = B

Теперь подставим это значение в первое уравнение:

A + B = 2 A + A = 2 2A = 2 A = 1

Теперь, когда мы знаем значения A и B, можем записать разложение:

2x / (x^2 - 4) = 1/(x - 2) + 1/(x + 2)

Теперь мы можем интегрировать правую сторону уравнения:

ln|y| = ∫(1/(x - 2) + 1/(x + 2)) dx

ln|y| = ∫(1/(x - 2)) dx + ∫(1/(x + 2)) dx

Интегрируем обе части отдельно:

ln|y| = ln|x - 2| + ln|x + 2| + C

Где C - это постоянная интеграции. Теперь объединим логарифмы:

ln|y| = ln(|x - 2| * |x + 2|) + C

Теперь, используя свойство логарифмов, можно записать:

ln|y| = ln(|x^2 - 4|) + C

Теперь избавимся от натурального логарифма, взяв экспоненту от обеих сторон:

|y| = |x^2 - 4| * e^C

Поскольку C - произвольная константа, e^C также будет константой. Пусть K = e^C, тогда:

|y| = K * |x^2 - 4|

Теперь учтем начальное условие y(0) = 0. Это означает, что y может быть как положительным, так и отрицательным значением. Рассмотрим два случая:

1. Если y положительно:

y = K * (x^2 - 4)

2. Если y отрицательно:

y = -K * (x^2 - 4)

Таким образом, общее решение дифференциального уравнения:

y = ±K * (x^2 - 4)

Где K - произвольная постоянная.