Question

Дифференциальное уравнение y'(x^2-4)=2xy , y(0)=0.

Answer 1

Ответ:

$y( {x}^{2} - 4) = 2xy \\ \frac{dy}{dx} ( {x}^{2} - 4) = 2xy \\ \int\limits \frac{dy}{y} = \int\limits \frac{2xdx}{ {x}^{2} - 4} \\ ln(y) = \int\limits \frac{d( {x}^{2} - 4) }{ {x}^{2} - 4 } \\ ln(y) = ln( {x}^{2} - 4 ) + ln(C) \\ ln(y) = ln(C( {x}^{2} - 4)) \\ y = C( {x}^{2} - 4)$

общее решение

$y(0) = 0$

$0 = C(0 - 4) \\ C = 0$

$y = 0$

частное решение

Answer 2

Это линейное дифференциальное уравнение первого порядка. Давай решим его.

Исходное уравнение:

$\frac{dy}{dx}(x^2-4) = 2xy$

Разделим обе стороны на $x^2-4$:

$\frac{1}{x^2-4}\frac{dy}{dx} = 2y$

Теперь проинтегрируем обе стороны. Сначала левую сторону:

$\int \frac{1}{x^2-4} \,dx \cdot \frac{dy}{dx} = \int 2y \,dx$

Для левой стороны воспользуемся частичными дробями:

$\int \frac{1}{x^2-4} \,dx = \frac{1}{4}\int \left(\frac{1}{x-2} - \frac{1}{x+2}\right) \,dx$

$= \frac{1}{4}(\ln|x-2| - \ln|x+2|)$

Теперь уравнение выглядит так:

$\frac{1}{4}(\ln|x-2| - \ln|x+2|)\frac{dy}{dx} = \int 2y \,dx$

Теперь проинтегрируем правую сторону:

$\int 2y \,dx = y^2 + C$

Где $C$ - константа интегрирования. Теперь уравнение имеет вид:

$\frac{1}{4}(\ln|x-2| - \ln|x+2|)\frac{dy}{dx} = y^2 + C$

Теперь мы можем решить это уравнение относительно $y$. Можешь попробовать продолжить с этого момента?