Question

В равнобедренной трапеции ABCD, AD параллельно BC, AB=BC=CD. Высота BM пересекает диагональ AC в точке K. BK=5 , KM=4. Найдите периметр трапеции ABCD.

Answer 1

Ответ: 84 (ед. длины)

Пошаговое объяснение (подробно):  

     В трапеции АВСD стороны АВ=ВС=СD (дано).

∆ АВС - равнобедренный,  а∠ВСА=∠СAD (свойство накрестлежащих углов).

ВМ - высота трапеции,⇒ ∆ АВМ – прямоугольный.

ВМ=ВК+КМ=5+4=9

Примем АМ=х.

Тогда по т.Пифагора АВ=√(х²+9²)=√(х²+81)

Треугольник КВС ~∆ КМА  ( по равным углам).

Из их подобия следует ВС:АМ=ВК:КМ

(√(х²+81)):х=5:4

Возведем обе части уравнения в квадрат. ⇒

(х²+81):х=25:16 =>

16•81+16х²=25х²

16•81=х²•(25-16)

16•81=9х²

16•9=х² ⇒

х=√144=12

Из ∆ АВМ по т.Пифагора АВ=15 ( можно не высчитывать, если заметить, что это треугольник египетский с отношением сторон 3:4:5)

Т.к. ВМ и СН перпендикулярны основаниям, ВС=МН и НD=АМ=12

Р(АВСD)= 4•АВ+2•AM=4•15+2•12=84 (ед. длины)

Answer 2

Ответ: 84

Пошаговое объяснение: в приложенном файле

Answer 3

Для решения этой задачи воспользуемся тем, что в равнобедренной трапеции боковые стороны равны. Пусть $AB = BC = CD = x$. Также, из условия задачи нам дано, что $BK = 5$ и $KM = 4$.

Посмотрим на треугольник $BKM$. Мы знаем две стороны и угол между ними (так как $BM$ - высота). Мы можем воспользоваться теоремой косинусов для нахождения стороны $BM$:

$BM^2 = BK^2 + KM^2 - 2 \cdot BK \cdot KM \cdot \cos(\angle BKM)$

Угол $\angle BKM$ можно найти, используя теорему косинусов для треугольника $ABK$:

$\cos(\angle BKM) = \frac{AK^2 + AB^2 - BK^2}{2 \cdot AK \cdot AB}$

Поскольку $AB = BC = x$, угол $\angle BKM$ можно выразить через x:

$\cos(\angle BKM) = \frac{AK^2 + x^2 - 25}{2 \cdot AK \cdot x}$

Так как $AK = x - 5$, мы можем выразить $\cos(\angle BKM)$ следующим образом:

$\cos(\angle BKM) = \frac{(x - 5)^2 + x^2 - 25}{2 \cdot (x - 5) \cdot x}$

Теперь мы можем подставить значение $\cos(\angle BKM)$ в уравнение для $BM^2$ и решить его относительно $x$. Получив значение $x$, мы можем найти периметр трапеции, который равен $2x + 2x = 4x$.