Question

(x^2-x-6)(x-1)^2<=0.Метод інтервалів​

Answer 1

$( {x}^{2} - x - 6) {(x - 1)}^{2} \leqslant 0 \\ ( {x}^{2} - x - 6) {(x - 1)}^{2} = 0 \\ 1) \: {x}^{2} - x - 6 = 0 \\ x_{1} + x_{2} = 1 \\ x_{1} \times x_{2} = - 6 \\ x_{1} = - 2 \: \: \: \: \: \: \: \: \: x_{2} = 3 \\ 2) \: {(x - 1)}^{2} = 0 \\ x - 1 = 0 \\ x_{3} = 1$

+ - - +

----------•-----------•-----------•-------------> x

-2. 1. 3.

x€[-2; 3].

Answer 2

Для розв'язання нерівності (x^2 - x - 6)(x - 1)^2 ≤ 0 методом інтервалів, вам слід виконати наступні кроки:

1. Знайдіть корені обидвох факторів виразу, що стоїть ліворуч від нерівності, тобто (x^2 - x - 6) і (x - 1)^2.

Спершу розв'яжемо x^2 - x - 6 = 0:

(x^2 - x - 6) = (x - 3)(x + 2) = 0

Отже, корені цього рівняння - x₁ = 3 і x₂ = -2.

Далі розв'яжемо (x - 1)^2 = 0:

(x - 1)^2 = 0

Корінь цього рівняння - x₃ = 1.

Таким чином, у нас є три корені: x₁ = 3, x₂ = -2 і x₃ = 1.

2. Позначте ці корені на числовій прямій.

   -2 1 3 |---|---|---|

3. Тепер виберіть по одному значенню з кожного інтервалу між коренями. Загальною ознакою нерівності (x^2 - x - 6)(x - 1)^2 ≤ 0 є те, що вона змінює знак при переході від одного кореня до іншого.

Скористайтеся значеннями x = -3, x = -1, x = 0, x = 2, і x = 4 (ці значення розташовані між коренями):

luaCopy code
  -2      1      3
   |---|---|---|
   -3  -1   0  2   4

4. Обчисліть значення нерівності (x^2 - x - 6)(x - 1)^2 для кожного з вибраних значень x.

• Для x = -3: (9 - (-3) - 6)(-3 - 1)^2 = (12)(16) = 192
• Для x = -1: (1 - (-1) - 6)(-1 - 1)^2 = (-4)(0) = 0
• Для x = 0: (0 - 0 - 6)(0 - 1)^2 = (-6)(1) = -6
• Для x = 2: (4 - 2 - 6)(2 - 1)^2 = (-4)(1) = -4
• Для x = 4: (16 - 4 - 6)(4 - 1)^2 = (6)(9) = 54

5. Визначте, де нерівність набуває значень менше або рівно нулю. В даному випадку, нерівність (x^2 - x - 6)(x - 1)^2 ≤ 0 набуває значень менше або рівно нулю на інтервалах [-1, 0] та [2, 3]:

   -2 1 3 |---|---|---| -3 -1 0 2 4 [---] [---]

Таким чином, розв'язком нерівності є:

-2 ≤ x ≤ -1 або 2 ≤ x ≤ 3.

Answer 3

Щоб вирішити нерівність $(x^2-x-6)(x-1)^2 \leq 0$, спершу знайдемо корені рівності $(x^2-x-6)(x-1)^2 = 0$, оскільки нерівність буде задоволеною на інтервалах між цими коренями та поза ними.

1. Знайдемо корені рівності $(x^2-x-6)(x-1)^2 = 0$:

   Розкривши добуток, ми отримуємо: $(x^2-x-6)(x^2-2x+1) = 0$.

   Тепер знайдемо корені кожного множника окремо:

   a. Для першого множника $x^2-x-6$:

   Використовуючи квадратне рівняння, ми можемо отримати корені:

   $x^2 - x - 6 = 0$

   $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

   Де $a = 1$, $b = -1$, $c = -6$:

   $x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4(1)(-6)}}{2}$ $x = \frac{1 \pm \sqrt{25}}{2}$

   Отже, корені першого множника - це $x_1 = 3$ і $x_2 = -2$.

   b. Для другого множника $(x-1)^2$:

   Цей множник має один корінь - $x = 1$.

2. Тепер ми маємо всі корені рівності: $x_1 = 3$, $x_2 = -2$, $x_3 = 1$.

3. Тепер розділимо числову пряму на інтервали, використовуючи ці корені, і визначимо знаки виразу $(x^2-x-6)(x-1)^2$ на кожному інтервалі:

   a. Інтервал (-∞, -2): На цьому інтервалі всі три множники виразу негативні, отже, добуток буде позитивним: $(x^2-x-6)(x-1)^2 > 0$.

   b. Інтервал (-2, 1): Тут перший множник $(x^2-x-6)$ негативний, а другий $(x-1)^2$ позитивний. Таким чином, вираз буде негативним: $(x^2-x-6)(x-1)^2 < 0$.

   c. Інтервал (1, 3): На цьому інтервалі перший множник $(x^2-x-6)$ позитивний, а другий $(x-1)^2$ також позитивний. Таким чином, вираз буде позитивним: $(x^2-x-6)(x-1)^2 > 0$.

   d. Інтервал (3, ∞): На цьому інтервалі всі три множники виразу позитивні, отже, добуток буде позитивним: $(x^2-x-6)(x-1)^2 > 0$.

4. Отже, розв'язком нерівності $(x^2-x-6)(x-1)^2 \leq 0$ є інтервали $[-2, 1]$ та $[3, \infty)$.