Question

В клас­се 25 уча­щих­ся. Из них 20 за­ни­ма­ют­ся ан­глий­ским язы­ком, 17 увле­ка­ют­ся пла­ва­ни­ем, 14 по­се­ща­ют ма­те­ма­ти­че­ский кру­жок. До­ка­жи­те, что в клас­се найдётся хотя бы один уче­ник, ко­то­рый за­ни­ма­ет­ся ан­глий­ским язы­ком, увле­ка­ет­ся пла­ва­ни­ем и по­се­ща­ет ма­те­ма­ти­че­ский кру­жок. За­пи­ши­те ре­ше­ние и ответ​

Answer 1

Решение:

25 - 20 = 5 человек НЕ занимаются английским.

25 - 17 = 8 человек НЕ занимаются плаванием.

25 - 14 = 11 человек НЕ занимаются математикой.

5 + 8 + 11 = 24 ученика из 25 могут заниматься двумя видами досуга.

Ответ: Значит, хотя бы один занимается всеми тремя видами.

Answer 2

Для доказательства этого утверждения, мы можем использовать принцип инклюзии-эксклюзии.

Известно, что в классе 25 учащихся:

• 20 человек занимаются английским языком.
• 17 человек увлекаются плаванием.
• 14 человек посещают математический кружок.

Мы хотим доказать, что найдется хотя бы один ученик, который занимается английским языком, увлекается плаванием и посещает математический кружок.

Для этого мы можем воспользоваться принципом инклюзии-эксклюзии:

Количество учеников, занимающихся английским языком и увлекающихся плаванием, не может быть больше 17 (максимальное количество, увлекающихся плаванием).

Количество учеников, занимающихся английским языком и посещающих математический кружок, не может быть больше 14 (максимальное количество, посещающих математический кружок).

Следовательно, максимальное количество учеников, занимающихся английским языком и одновременно увлекающихся плаванием и посещающих математический кружок, не может быть больше минимума из чисел 17 и 14. То есть, максимальное количество таких учеников равно 14.

Так как в классе всего 25 учащихся, и максимальное количество учеников, удовлетворяющих всем условиям, равно 14, это означает, что хотя бы один ученик удовлетворяет всем требованиям, а именно, занимается английским языком, увлекается плаванием и посещает математический кружок.

Итак, мы доказали, что в классе найдется хотя бы один ученик, который занимается английским языком, увлекается плаванием и посещает математический кружок.