Question

50 БАЛЛОВ!) Какое наименьшее значение может принимать наименьшее общее кратное шести попарно различных натуральных чисел, если известно, что произведение любых двух из этих чисел делится на 2, любых трёх — на 3, любых четырёх — на 4, любых пяти — на 5?

Answer 1

Ответ:

НОК min = 60

Пошаговое объяснение:

пусть эти числа будут a,b,c,d,e,f причем по условию:

a ≠ b ≠ c ≠ d ≠ e ≠ f. {a,b,c,d,e,f} ∈ N

Чтобы произведение любых двух из этих чисел делилось на 2, необходимо, чтобы 5 из 6 чисел были четными, т.е. в разложении на множители содержали множитель 2 хотя бы один раз. Вот так выглядят наши числа в "первом приближении" (вместо точек - неизвестные простые множители; пока неизвестные):

a=2*...; b=2*...; c=2*...; d=2*...; e=2*...; f=...;

Понятно, что в этом случае любое произведение 2-х чисел из шести будет четно.

Далее: произведение любых 3-х будет делиться на 3 в таком случае:

a=2*3*...; b=2*3*...; c=2*3*...; d=2*3*...; e=2*...; f=...

Условие "произведение любых 4-х делится на 4" уже автоматически выполнено, т.к. любое произведение 4-х чисел будет содержать минимум 2-а четных числа.

Далее: произведение любых 5-и чисел делится на 5, если:

a=2*3*5*...; b=2*3*5*...; c=2*3*...; d=2*3*...; e=2*...; f=...

(т.е. чисел, кратных 5 должно быть не менее 2-х из 6-и).

Итак все условия делимости произведения выполнены. Найдем минимльное значение НОК наших чисел. С учетом того, что все числа попарно не равные (т.е. среди 6-и чисел нет двух равных):

a=2*3*5;

т.к. a≠b по условию, то добавим в b минимально возможный множитель, но не равный единице, т.е. 2

b=2*3*5*2;

c=2*3; - вполне устраивает по всем условиям.

Но вот в число d нужно добавить минимально возможный множитель, но не равный единице, т.е. опять 2:

d=2*3*2;

e=2 - "противопоказаний" нет!

f=1

Итак:

f=1;

e=2;

c=2*3=6;

d=2²*3=12;

a=2*3*5=30;

b=2²*3*5=60;

НОК(1,2,6,12,30,60)= 1*2²*3*5 = 60

Answer 2

Для того чтобы найти наименьшее значение наименьшего общего кратного (НОК) для шести попарно различных натуральных чисел, мы можем воспользоваться информацией о том, на какие числа делятся их произведения.

1. Любое произведение двух чисел делится на 2, значит, в этом множестве есть как минимум одно четное число.

2. Любое произведение трех чисел делится на 3, следовательно, в этом множестве есть как минимум одно число, кратное 3.

3. Любое произведение четырех чисел делится на 4, следовательно, в этом множестве есть как минимум одно число, кратное 4.

4. Любое произведение пяти чисел делится на 5, следовательно, в этом множестве есть как минимум одно число, кратное 5.

Теперь давайте рассмотрим эти условия более детально:

• В множестве должно быть как минимум одно четное число, чтобы выполнялось условие делимости на 2.
• В множестве должно быть как минимум одно число, кратное 3.
• В множестве должно быть как минимум одно число, кратное 4.
• В множестве должно быть как минимум одно число, кратное 5.

Минимальное натуральное число, которое удовлетворяет этим условиям, можно найти следующим образом:

1. Выберем наименьшее четное число - это 2.
2. Затем выберем наименьшее натуральное число, которое кратно 3 и больше или равно 2 - это 3.
3. Затем выберем наименьшее натуральное число, которое кратно 4 и больше или равно 3 - это 4.
4. Затем выберем наименьшее натуральное число, которое кратно 5 и больше или равно 4 - это 5.

Теперь у нас есть множество из шести попарно различных натуральных чисел: {2, 3, 4, 5, 6, 7}.

Чтобы найти их НОК, нужно учесть, что НОК чисел 2, 3, 4, 5, 6, и 7 равен произведению всех этих чисел, так как они попарно простые между собой:

НОК(2, 3, 4, 5, 6, 7) = 2 * 3 * 4 * 5 * 6 * 7 = 2520

Таким образом, наименьшее значение НОК для шести попарно различных натуральных чисел, удовлетворяющих данным условиям, равно 2520.