Question

Xy'=2sqrt(x^2+y^2)+y​ решить дифференциальное уравнение

Answer 1

Ответ:

Однородное ДУ

$xy' = 2 \sqrt{ {x}^{2} + {y}^{2} } + y \: \: \: | \div x \\ y = 2 \frac{ \sqrt{ {x}^{2} + {y}^{2} } }{x} + \frac{y}{x} \\ y = 2 \times \sqrt{ \frac{ {x}^{2} + {y}^{2} }{ {x}^{2} } } + \frac{y}{x} \\ y = 2 \times \sqrt{1 + \frac{ {y}^{2} }{ {x}^{2} } } + \frac{y}{x}$

замена:

$\frac{y}{x} = u\\ y' = u'x + u$

$u'x + u = 2 \sqrt{1 + {u}^{2} } + u \\ \frac{du}{dx} x = 2 \sqrt{1 + u {}^{2} } + u - u \\ \int\limits \frac{du}{ \sqrt{1 + {u}^{2} } } = 2\int\limits \frac{dx}{x} \\ ln( |u + \sqrt{1 + {u}^{2} } | ) = 2 ln( |x| ) + ln(C) \\ ln( |u + \sqrt{1 + {u}^{2} } | ) = ln(Cx^2) \\ u + \sqrt{1 + {u}^{2} } = Cx^2 \\ \frac{y}{x} + \sqrt{1 + \frac{ {y}^{2} }{ {x}^{2} } } = Cx^2$

общее решение

Answer 2

Данное дифференциальное уравнение можно решить методом разделения переменных. Давайте начнем с его решения.

Исходное уравнение:

xy' = 2√(x^2 + y^2) + y

Для начала, выразим y' (производную y по x) из уравнения:

y' = (2√(x^2 + y^2) + y) / x

Теперь мы можем разделить переменные, перемещая все выражения, содержащие y и y', на одну сторону уравнения, а все выражения, содержащие x и dx, на другую сторону:

dy / (2√(x^2 + y^2) + y) = dx / x

Теперь мы можем проинтегрировать обе стороны уравнения. Сначала проинтегрируем левую сторону:

∫ (1 / (2√(x^2 + y^2) + y)) dy = ∫ (1 / x) dx

Для левой стороны мы можем сделать замену переменных. Пусть z = x^2 + y^2, тогда dz = 2y dy. Теперь мы можем переписать левую сторону уравнения:

∫ (1 / (2√z + y)) (1/2) dz = ∫ (1 / x) dx

Теперь мы можем интегрировать обе стороны:

(1/2) ∫ (1 / (2√z + y)) dz = ∫ (1 / x) dx

Далее, мы можем рассмотреть правую сторону. Интеграл ∫(1/x) dx равен ln|x| + C, где C - константа интегрирования.

Для левой стороны у нас остался интеграл, который может быть не так просто решить аналитически. Тем не менее, это уравнение можно решить численными методами или с использованием специализированного программного обеспечения.

Таким образом, решение данного дифференциального уравнения в явном аналитическом виде может быть сложным, и для получения численного решения потребуется использовать численные методы.