Question

Как решить такое уравнение? ( (-x+1)^-1 - (-x+4)^-1 )^2 <= |x^2+6x| / (x^2-5x+4)^2 Если можно, то поподробней. Заранее спасибо

Answer 1

Ответ:$(\frac{1}{1-x}- \frac{1}{4-x})^{2}=\frac{|x^{2} + 6x|}{(x^{2}-5x+4)x^{2} }$

Пошаговое объяснение:

Answer 2

Для решения данного уравнения сначала упростим его, а затем найдем его корни. Давайте начнем с упрощения выражения слева и справа от неравенства.

Исходное уравнение:

( (-x+1)^-1 - (-x+4)^-1 )^2 <= |x^2+6x| / (x^2-5x+4)^2

Сначала упростим выражение слева:

( (-x+1)^-1 - (-x+4)^-1 )^2 = (1/(-x+1) - 1/(-x+4))^2

Теперь найдем общий знаменатель для дробей в скобках:

(1/(-x+1) - 1/(-x+4))^2 = ((-x+4) - (-x+1))/((-x+1)(-x+4))^2

Упрощаем числитель:

((-x+4) - (-x+1)) = (4 - 1) = 3

И знаменатель:

(-x+1)(-x+4) = (x-1)(4-x) = (x-1)(x-4)

Теперь у нас есть следующее выражение:

(3/((x-1)(x-4)))^2 <= |x^2+6x| / (x^2-5x+4)^2

Далее, упростим правую часть неравенства. Начнем с выражения |x^2+6x|:

|x^2+6x| = |x(x+6)|

А затем упростим знаменатель (x^2-5x+4)^2:

(x^2-5x+4)^2 = ((x-4)(x-1))^2

Теперь у нас есть:

(3/((x-1)(x-4)))^2 <= |x(x+6)| / ((x-4)(x-1))^2

Заметьте, что знаменатели в обеих частях неравенства одинаковы, и их квадраты тоже одинаковы. Мы можем избавиться от знаменателей, учитывая, что они положительные, и уравнение не имеет нулевых делителей:

(3)^2 <= |x(x+6)|

9 <= |x(x+6)

Теперь рассмотрим два случая:

1. x(x+6) >= 0: В этом случае нам нужно решить неравенство 9 <= x(x+6). Раскроем скобки:

   9 <= x^2 + 6x

   Переносим все влево:

   x^2 + 6x - 9 >= 0

   Это квадратное уравнение, которое можно решить с помощью дискриминанта. Дискриминант (D) равен:

   D = 6^2 - 4 * 1 * (-9) = 36 + 36 = 72

   Извлекаем корни:

   x1 = (-6 + √72) / 2 = (-6 + 6√2) / 2 = -3 + 3√2 x2 = (-6 - √72) / 2 = (-6 - 6√2) / 2 = -3 - 3√2

   Таким образом, решением этой части неравенства является:

   x ∈ (-∞, -3 - 3√2] и [3√2 - 3, +∞)

2. x(x+6) < 0: В этом случае нам нужно решить неравенство 9 <= -x(x+6). Раскроем скобки и учтем отрицательный знак:

   9 <= -x^2 - 6x

   Переносим все влево:

   x^2 + 6x + 9 >= 0

   Это квадратное уравнение, которое имеет одинаковые корни:

   x = -3

   Таким образом, решением этой части неравенства является:

   x = -3

Итак, у нас есть два набора решений: для случая 1 и для случая 2.

Случай 1: x ∈ (-∞, -3 - 3√2] и [3√2 - 3, +∞)

Случай 2: x = -3

Таким образом, это является полным решением данного неравенства.