Question

СРОЧНО, 40 БАЛЛОВ Паша сложил из одинаковых квадратиков "клетчатый" прямоугольник. Затем убрал в нем целиком два "столбца", но добавил ещё три "строки". В результате число квадратиков в прямоугольнике увеличилось. Затем Паша повторил эту операцию ещё раз. Обязательно ли снова число квадратиков увеличилось?

Answer 1

Ответ:

Нет, не обязательно

Пошаговое объяснение:

На примере. Возьмём прямоугольник 5 столбцов и 3 строки - 15 квадратиков. После удаления двух столбцов получаем 15 - 2*3 = 9. (квадрат 3 на 3) После прибавление трех строк: 9 + 3*3 = 18 квадратиков. Количество увеличилось.

Повторим. 18 квадратиков - 2 столбца по 6 квадратиков = 18-12 = 6. Получим прямоугольник 1 столбец на 6 строк, 6 квадратиков соответственно

Прибавим три строки - столбец один, значит + 3 квадратика — получили 9 элементов. Количество квадратиков уменьшилось.

Answer 2

Пусть изначально в прямоугольнике было $n$ квадратиков в одной строке и $m$ квадратиков в одном столбце. После того как Паша убрал два столбца и добавил три строки, количество квадратиков в прямоугольнике увеличилось на $3 \times m - 2 \times n$.

После второй операции Паша уберет два столбца, что уменьшит количество квадратиков на $2 \times m$, и добавит три строки, что увеличит количество квадратиков на $3 \times n$.

Теперь рассмотрим условие задачи: обязательно ли снова число квадратиков увеличилось? Для этого необходимо сравнить $3 \times m - 2 \times n$ и $3 \times n - 2 \times m$. Если $3 \times m - 2 \times n > 3 \times n - 2 \times m$, то количество квадратиков увеличится, и наоборот.

Давайте рассмотрим два случая:

1. Если $3 \times m - 2 \times n > 3 \times n - 2 \times m$: $3 \times m - 2 \times n > 3 \times n - 2 \times m$ $5 \times m > 5 \times n$ $m > n$

2. Если $3 \times m - 2 \times n < 3 \times n - 2 \times m$: $3 \times m - 2 \times n < 3 \times n - 2 \times m$ $5 \times m < 5 \times n$ $m < n$

Итак, если $m > n$ или $m < n$, то при повторении операции количество квадратиков в прямоугольнике обязательно увеличится.