Question

Найти объем тела, образованного вращением вокруг оси Ох фигуры, расположенной в первом квадранте и ограниченной заданными параболой, прямой и осью Ох y=x^2: y=-x+3

Answer 1

Ответ:

результаті обертання навколо осі

Обсяг фігури, утвореної в результаті обертання навколо осі Ox криволінійної трапеції, обмеженою безперервної кривої y = f (x) (a ≤ x ≤ b), Віссю Ox і прямими x = a і x = b, обчислюється за формулою:

Аналогічно, обсяг фігури, утвореної в результаті обертання навколо осі Oy криволінійної трапеції, обмеженою безперервної кривої y = φ (x) (c ≤ x ≤ d), Віссю Ox і прямими y = c і y = d, знаходиться за формулою:

ПРИКЛАД №1 . Обчислити обсяги фігур, утворених обертанням площ, обмежених зазначеними лініями.

y 2 = 4x; y = 0; x = 4.

Межі інтегрування a = 0, b = 4.

ПРИКЛАД №2 . y 2 = 4x; y = x

Виконаємо побудову фігури. Вирішимо систему:

y 2 = 4x

y = x

знайдемо точки перетину параболи і прямої: O (0; 0), A (4; 4).

Отже, межі інтегрування a = 0; b = 4. Бажаємий обсяг являє собою різницю обсягу V 1 параболоїда, утвореного обертанням кривої y 2 = 4x, і про обсягу V 2 конуса, утвореного обертанням прямої y = x:

V = V 1 - V 2 = 32π - 64/3 π = 32/3 π

см. також як обчислити інтеграл онлайн

ПРИМЕР №3. Вычислить объем тела, полученного вращением вокруг оси Оx фигуры, ограниченной прямой y=x и параболой .

Найдем точки пересечения линий. Для этого решим уравнение . Получим x1=0, x2=1.

Рис. 2. Объем тела вращения.

Объем тела может быть вычислен по формуле , где

, f2(x)=x.

.

Ответ: .

см. также Площадь фигуры, ограниченной линиями: Площа фігури, обмеженої лініями

Бизнес курсы SkillBox

Стань востребованным иллюстратором

Научим создавать профессиональные скетчи с нуля за 16 недель практики

Программа курсов

Бизнес курсы SkillBox

Фрілансер? Багато замовлень?

Пора відкривати свою веб-студію.

Навчимо, дамо бізнес-модель

програма курсів

Бізнес курси SkillBox

Аналітика сайтів та інтерфейсів

16 тижнів практичного навчання UX-аналітиці з гарантією стажування

програма курсів

Курс інтернет-маркетолога

Отримай високооплачувану професію. З нуля до великих проектів за 5 місяців

програма курсів

Онлайн-університет

Професії з працевлаштуванням. Наші напрямки:

√ Програмування та Дизайн

√ Маркетинг і Управління

√ Ігри та Мультимедіа

програма курсів

Створення сайту за 5 хвилин

Конструктор сайтів дозволяє створити інтернет-магазин, сайт-візитку, корпоративний сайт, сайт фахівця, Лендінгем, портфоліо, блог. Без програмування і html.

√ Безліч варіантів красивих шаблонів і дизайнів.

√ Підключення онлайн-оплати.

Докладніше

Біржа віддаленої роботи

Для тих, кому потрібен фахівець : знайти кращих фріланс фахівців серед 1 млн виконавців. Програмісти, дизайнери, художники, копірайтери, юристи, бухгалтери, інженери, фотографи - тисячі віддалених співробітників по будь-яким freelance спеціалізаціями.

Тим, хто шукає роботу на будинок : для вас щодня понад 1500 фріланс проектів, конкурсів та вакансій з пошуком виконавців.

фрілансери

Редактор формул онлайн

Зручний редактор формул для Word, Latex і Web .

Редактор формул онлайн

Докладніше

Фінансовий аналіз онлайн

Аналіз і діагностика фінансово-господарської діяльності підприємства:

· Оцінка майнового стану

· Аналіз ліквідності і платоспроможності

· Аналіз фінансової стійкості

· Аналіз рентабельності і оборотності

· Аналіз руху грошових коштів

· Аналіз фінансових результатів і багато іншого

Докладніше

Ануїтетні платежі онлайн

Розрахунок ануїтетних платежів за схемою постнумерандо і пренумерандо за допомогою зручного калькулятора.

Ануїтетні платежі онлайн

Докладніше

Кредитна історія

Уральський банк реконструкції та розвитку пропонує безкоштовний сервіс по перевірці особистої кредитної історії на основі даних компанії Об'єднане Кредитне Бюро. Звіт видає інформацію про всіх ваших кредитах і ймовірність отримання іпотеки або нового кредиту.

Докладніше

Цей сайт використовує cookie для збору статистики по відвідуваності. Відключити їх можна, змінивши вигляд використовуваного вами браузера

Answer 2

Для нахождения объема тела, образованного вращением фигуры вокруг оси OX, необходимо воспользоваться методом цилиндрических оболочек. Интеграл объема тела можно записать следующим образом:

V = ∫[a, b] 2πy * R * dx,

где a и b - пределы интегрирования на оси OX, 2π - константа, y - функция, которая описывает фигуру, R - радиус цилиндра.

Для данной фигуры пределы интегрирования на оси OX определяются точками пересечения параболы и прямой, то есть y = x^2 и y = -x + 3. Найдем точки пересечения:

x^2 = -x + 3.

Перепишем уравнение в виде:

x^2 + x - 3 = 0.

Далее, решим это квадратное уравнение. Можно воспользоваться дискриминантом:

D = b^2 - 4ac,

где a = 1, b = 1, c = -3. Подставляем значения:

D = 1^2 - 4 * 1 * (-3) = 1 + 12 = 13.

Дискриминант D положителен, что означает, что у нас есть два действительных корня:

x₁ = (-b + √D) / 2a, x₁ = (-1 + √13) / 2.

x₂ = (-b - √D) / 2a, x₂ = (-1 - √13) / 2.

Теперь найдем точки пересечения на оси OX:

a = (-1 - √13) / 2, b = (-1 + √13) / 2.

Теперь мы можем найти радиус R и функцию y для нашего интеграла:

R = x (расстояние от оси OX до точки фигуры).

y = x^2 - (-x + 3).

Теперь можем записать интеграл для нахождения объема:

V = ∫[a, b] 2π(x^2 - (-x + 3)) * x dx.

Теперь вычислим этот интеграл:

V = 2π ∫[a, b] (x^3 + (x - 3)x) dx V = 2π ∫[a, b] (x^3 + x^2 - 3x) dx.

Теперь производим вычисления:

V = 2π [(1/4)x^4 + (1/3)x^3 - (3/2)x^2] |[a, b] V = 2π [(1/4)b^4 + (1/3)b^3 - (3/2)b^2 - (1/4)a^4 - (1/3)a^3 + (3/2)a^2].

Теперь подставим значения a и b:

a = (-1 - √13) / 2, b = (-1 + √13) / 2.

V = 2π [(1/4)((-1 + √13)/2)^4 + (1/3)((-1 + √13)/2)^3 - (3/2)((-1 + √13)/2)^2 - (1/4)((-1 - √13)/2)^4 - (1/3)((-1 - √13)/2)^3 + (3/2)((-1 - √13)/2)^2].

Теперь вычислите это выражение, и вы получите объем тела, образованного вращением данной фигуры вокруг оси OX.