Question

Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси Ох фигуры, ограниченной параболой у2 = х , прямыми х = 1 , х = 4 и осью Ох . + нарисовать рисунок

Answer 1

∨= π₁∫⁴f²(x)dx.

y²=x⇒V=π₁∫⁴xdx=πx²/2|₁⁴=π(4²/2-1²/2)=7.5π.

На рисунке показана фигура, которая вращается вокруг оси ох. Получается что-то вроде бокала или стакана.

Answer 2

Чтобы вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси OX фигуры, ограниченной параболой \(y^2 = x\), прямыми \(x = 1\), \(x = 4\) и осью OX, мы можем воспользоваться методом цилиндрических колец.

Парабола \(y^2 = x\) представляет собой симметричную кривую относительно оси OY. Если вращать эту кривую вокруг оси OX на отрезке \([1, 4]\), то мы получим тело вращения.

Объем элементарного цилиндрического кольца с радиусом \(r(x)\) и толщиной \(dx\) равен \(dV = \pi \cdot [r(x)]^2 \cdot dx\). Радиус \(r(x)\) - это расстояние от параболы \(y^2 = x\) до оси OX, которое можно найти как \(r(x) = y = \sqrt{x}\).

Теперь мы можем записать интеграл для объема:

\[V = \int_{1}^{4} \pi \cdot (\sqrt{x})^2 \,dx\]

Вычислим этот интеграл:

\[V = \pi \int_{1}^{4} x \,dx\]

\[V = \pi \left[\frac{1}{2}x^2\right]_{1}^{4}\]

\[V = \pi \left[\frac{1}{2}(4^2) - \frac{1}{2}(1^2)\right]\]

\[V = \pi \cdot \frac{1}{2} \cdot (16 - 1)\]

\[V = \pi \cdot \frac{15}{2}\]

Таким образом, объем тела, образованного вращением вокруг оси OX фигуры, ограниченной параболой \(y^2 = x\), прямыми \(x = 1\), \(x = 4\) и осью OX, равен \(\frac{15}{2}\pi\).

Чтобы нарисовать рисунок, мы можем воспользоваться графическим программным обеспечением, таким как Python с библиотекой Matplotlib. Код для построения графика может выглядеть следующим образом:

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# Определение функции параболы y^2 = x
def parabola(x):
    return np.sqrt(x)

# Задание интервала и шага для построения графика
x_values = np.linspace(1, 4, 100)
y_values = parabola(x_values)

# Построение графика параболы
plt.plot(x_values, y_values, label='y^2 = x')

# Закрашивание области под графиком параболы
plt.fill_between(x_values, 0, y_values, alpha=0.2)

# Настройка графика
plt.axhline(0, color='black',linewidth=0.5)
plt.axvline(0, color='black',linewidth=0.5)
plt.grid(color = 'gray', linestyle = '--', linewidth = 0.5)
plt.title('Область, ограниченная параболой y^2 = x')
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('y')

# Отображение графика
plt.show()

Этот код построит график параболы \(y^2 = x\) на интервале \([1, 4]\) и закрасит область под графиком.