Question

Помогите! Капитан купил у аборигенов песочные часы, которые отсчитывают ровно одну минуту. Долгими вечерами во время плавания капитан коротал время, переворачивая эти часы и наблюдая за падающими песчинками. Он заметил, что, какой промежуток времени ни выбери, за предыдущий такой же промежуток на дно падает на столько же больше песка, на сколько меньше песка падает на дно за следующий. Например, если за некоторый десяток секунд на дно падает на унцию песка меньше, чем за предыдущий десяток, то за следующий десяток секунд на дно упадёт ещё на унцию песка меньше. Следующий промежуток — такой, начало которого совпадает с концом текущего. Известно, что за первые 24 секунды на дно упал 21 грамм песка. А за первые 36 секунд — 30 грамм песка. Сколько грамм песка в песочных часах?

Answer 1

Немного разобрался.

Скорость песка все время меняется на одну и ту же величину.

В последнюю, 60-ую секунду падает х г, а в 59-ую секунду - х+y г,

в 58-ую - х+2y г, и т.д. до 1-ой секунды, когда падает х+59y г.

За первые 24 секунды упало:

24x + 59y + 58y + ... + 36y = 21 г

А за первые 36 секунд упало:

36x + 59y + 58y + ... + 24y = 30 г

Составим уравнения по арифметической прогрессии:

{ S(24) = 24x + (36y + 59y)*24/2 = 24x + 95y*12 = 24x + 1140y = 21

{ S(36) = 36x + (24y + 59y)*36/2 = 36x + 83y*18 = 36x + 1494y = 30

Делим 2 уравнение на 3

{ 24x + 1140y = 21

{ 12x + 498y = 10

Умножаем 2 уравнение на -2

{ 24x + 1140y = 21

{ -24x - 996y = -20

И складываем уравнения

24x + 1140y - 24x - 996y = 21 - 20

144y = 1

y = 1/144 г = 2/288

Подставляем в любое уравнение

24x + 1140*1/144 = 21

24x = 21 - 1140/144 = 21 - 95/12 = (21*12 - 95)/12 = (252-95)/12 = 157/12

x = 157/(12*24) = 157/288 г

А всего за 60 секунд падало:

60x + (0+59y)*60/2 = 60*157/288 + 59*2/288*30 =

= (60*57 + 59*2*30)/288 = 12960/288 = 45 г

Ответ: 45 г

Неожиданно в результате вычислений с такими сложными дробями получилось целое число.

Answer 2

Это уравнение выглядит довольно сложным. Я бы посоветовал рассмотреть следующие варианты:

1. Разделите весь временной интервал на части, например, по 12 секунд, и попробуйте выразить количество песка для каждой части через предыдущую.

2. Попробуйте ввести переменные для количества песка за каждый интервал времени и написать уравнения, используя данные, которые у вас уже есть.

3. Воспользуйтесь методом проб и ошибок, чтобы определить, как изменения в каждом интервале влияют на количество песка.

Не стесняйтесь делиться своими мыслями, и мы вместе решим эту головоломку!