Question

Капитан купил у аборигенов песочные часы, которые отсчитывают ровно одну минуту. Долгими вечерами во время плавания капитан коротал время, переворачивая эти часы и наблюдая за падающими песчинками. Он заметил, что, какой промежуток времени ни выбери, за предыдущий такой же промежуток на дно падает на столько же больше песка, на сколько меньше песка падает на дно за следующий. Например, если за некоторый десяток секунд на дно падает на унцию песка меньше, чем за предыдущий десяток, то за следующий десяток секунд на дно упадёт ещё на унцию песка меньше. Следующий промежуток — такой, начало которого совпадает с концом текущего. Известно, что за первые 10 секунд на дно упал 21 грамм песка. А с 21 по 30 секунду включительно — 14 грамм песка. Сколько грамм песка в песочных часах?

Answer 1

Скорость песка все время меняется на одну и ту же величину.

В последнюю, 60-ую секунду падает х г, а в 59-ую секунду - х+y г,

в 58-ую - х+2y г, и т.д. до 1-ой секунды, когда падает х+59y г.

За первые 24 секунды упало:

24x + 59y + 58y + ... + 36y = 21 г

А за первые 36 секунд упало:

36x + 59y + 58y + ... + 24y = 30 г

Составим уравнения по арифметической прогрессии:

{ S(24) = 24x + (36y + 59y)×24/2 = 24x + 95y×12 = 24x + 1140y = 21

{ S(36) = 36x + (24y + 59y)×36/2 = 36x + 83y×18 = 36x + 1494y = 30

Делим 2 уравнение на 3

{ 24x + 1140y = 21

{ 12x + 498y = 10

Умножаем 2 уравнение на -2

{ 24x + 1140y = 21

{ -24x - 996y = -20

И складываем уравнения

24x + 1140y - 24x - 996y = 21 - 20

144y = 1

y = 1/144 г = 2/288

Подставляем в любое уравнение

24x + 1140×1/144 = 21

24x = 21 - 1140/144 = 21 - 95/12 = (21×12 - 95)/12 = (252-95)/12 = 157/12

x = 157/(12*24) = 157/288 г

А всего за 60 секунд падало:

60x + (0+59y)×60/2 = 60×157/288 + 59×2/288×30 =

= (60*57 + 59×2×30)/288 = 12960/288 = 45 г

Ответ: 45 г

Answer 2

Давайте обозначим количество песка, которое падает на дно песочных часов за первый промежуток времени (0-10 секунд) как "x" граммов. Теперь, в соответствии с условием задачи, мы знаем, что за следующий промежуток времени (10-20 секунд) на дно упало на 21 грамм меньше песка, чем за предыдущий. То есть, за второй промежуток времени упало "x - 21" грамм песка.

Затем, за следующий промежуток времени (20-30 секунд), упало 14 грамм песка. В соответствии с условием, это на столько больше, чем за предыдущий промежуток времени, сколько меньше упадет песка за следующий. То есть, "14" граммов больше, чем "x - 21".

Теперь у нас есть два уравнения:

1. x - 21 = 14 (для второго промежутка времени).
2. 14 - (x - 21) = x (для третьего промежутка времени).

Решим эти уравнения:

1. x - 21 = 14 x = 14 + 21 x = 35 граммов.

2. 14 - (x - 21) = x 14 - x + 21 = x 35 - x = x 2x = 35 x = 35 / 2 x = 17.5 граммов.

Таким образом, количество песка в песочных часах составляет 35 граммов.